數學女神如何證明π是無理數？

史丹福當年的數學老師很有傳奇性，他有很強大的氣場，而且語出驚人，語不驚人誓不休。他的不少金句名言，至今仍為人津津樂道。

他曾經說過：「好多人覺得數學叻既女仔嘅樣都好唔得，但有一個係例外，佢叫Mary Cartwright。你地可以搵佢啲相睇吓，佢好有氣質！」老師平時不苟言笑，要求極高，簡直是完美主義者，他自己的妻子就是一位華裔小姐。所以他竟然對一位女士有如此高的評價，令一眾同學都很興奮。

Mary Cartwright (from Wikipedia)

老師再教我們，Mary Cartwright其中一項很傑出的工作就是提出了一個很簡單的方法去證明π是無理數。證明很簡單，只需要高中的數學知識，證明如下：

1. 證明In(x) = 1/x2 [2n(2n-1)In-1(x) - 4n(n-1)In-2(x)] 及 Jn(x) = 2n(2n-1)Jn-1(x) - 4n(n-1) x2Jn-2(x)

2. 證明Jn(x) = n![Rn(x) sin x + Qn(x) cox x]，其中Rn(x)及Qn(x)是次數少於或等如2n的多項式，且多頂式的係數都是整數

3. 用反證法證明π是無理數

好，讓我們跟隨Mary Cartwright的步伐詳細地試做一次：

首先，證明In(x) = 1/x2 [2n(2n-1)In-1(x) - 4n(n-1)In-2(x)] 及 Jn(x) = 2n(2n-1)Jn-1(x) - 4n(n-1) x2Jn-2(x)。這個recurrence relation只要用簡單的integration by parts就可以做到。

接著，我們要證明第二部分，當然就可以用一下當年中學數學證明題的最強法寶MI（當年小弟一遇到做不到的證明題，就會反射性地試用MI）：

我們已經有齊所有的工具。最後來一個美妙的反證法，就可以證明到π是無理數了：