2016年2月28日 星期日

史丹福看奧斯卡:最佳電影

明天就是奧斯卡金像獎頒獎典禮,史丹福也約略分享一下自己喜歡的提名作品吧,談的純粹是自己個人觀感,與得獎機會無關。

暫時我看過的幾套提名都是非常出色的作品。排一排個人喜好:

1.《火星任務》


奧斯卡絕少提名科幻片,所以能被提名的,都應該是非常出色的。《火星任務》中Matt Damon飾演的太空人即使流落火星,充滿孤寂與絕望,但他仍然以最幽默最樂觀的方式應對困難。這電影科學的部分似層層(科幻電影要做到科學上的準確是很難的),火星求存的部分劇力逼人,動作的部分緊張刺激,鬥智鬥力。除Matt Damon的獨腳戲,更有NASA及太空船太空人的群體合作戲,雖然他們各有各盤算,但仍全心全意合力救出主角。這是史丹福上年最愛的電影之一,是太空電影的新經典。

2.《沽注一擲》


這是一部很好玩的電影,雖然其背後的故事是人性的荒唐與醜惡,但它還是拍得有趣扺死。電影盡是複雜的經濟概念,但電影善用了各種生動有趣的比喻,甚至有不相關的人突然彈出為了解釋經濟概念。好笑之餘,電影也有很多人性的反思及矛盾。當你在電影院大笑過後,又彷彿上了一堂很實在的經濟歷史課,然後再想深一層,就開始覺得人性真的很可怕。

3.《換諜者》


這是史提芬史匹堡較為普通的作品,但你必須要承認即使他的普通作品也是一部非常精彩的作品。《換諜者》有極佳的冷戰氣氛,把觀眾完全浸沒在冷戰的壓迫感中。全片其實沒有甚麼動作場面,但只是靠氣氛的營造已經足夠令人非常緊張。史丹福特別喜歡在柏林圍牆射殺平民的一幕,短短的,卻令觀眾心跳瞬間加速。另外本片的對白也是非常精警與出色的,值得細味,有幾句甚至是很值得今天的香港人細味。

4.《抖室》

一個很沉重的親情故事,飾演母親的Brie Larson及兒子的Jacob Tramble都交出神級的演出(Jacob Tramble理應有男配角,甚至主角提名啊!!!)。故事的背景是沉重的,但電影所聚焦的卻是人性中最光輝的一面──愛與童真。電影初段只靠密室這個小埸景已經帶出很令人感動的場面,當二人逃出密室後,電影也依然只以簡單的場景與人物講述適應新環境的困難。這就是電影的精彩之處,只靠兩個主要場景,兩個主要人物,已經成功營造很強的感染力。

5.《焦點追擊》


這是一個傳媒揭發神父孌童醜聞的故事。電影以群戲為主,四個角色各施各法,分別追查不同線索,最後成功做到這宗大新聞。在那個資訊不及現在發達的年代,所以資料都是要親身跑去找的,是要靠「搶」的,所以更覺刺激。故事的角色很多很複雜,史丹福得承認要一小部分我是跟不上的。但我很喜歡那種最初只有一點線索,後來越找越多,醜聞越揭越大的感覺。另外電影教廷的權力之大,無法無天,令人心寒。有很多人都把《焦點追擊》與《沽注一擲》比較,兩套提名電影性質最相近,都是寫實地揭露一個很醜惡的社會悲劇。《沽注一擲》走玩味路線,《焦點追擊》相較起來是更工整,更嚴謹的。

另外有三部沒有看過的:

《末日先鋒:戰甲飛車》


《復仇勇者》


《布鲁克林之戀》

《抖室》:最沉重的溫馨



又快到奧斯卡頒獎典禮,史丹福嘗試把握機會趁著放假多看幾套提名電影。這套《抖室》提名最佳電影,更被電影人號稱百分之九十九會得到最佳女主角。

(Spoiler alert...)
故事講述女主角被變態男誘騙到一個密室囚禁,女主角在密室中誕下兒子,兩人相依為命。女主角為了令兒子有個愉快的童年,就騙他說這個房間就是全世界,他在電視看到的是另一個不虛構的世界。直到一天,她把真相告訴兒子,並想了一個計劃,透過兒子去逃出密室...

這是一個非常非常沉重的故事。但它沒有把焦點放在被囚禁的不幸上,而是透過母子情及孩子的純真去看盡人性的光輝。在密室中我們看到的是母親對兒子的愛及兒子相信密室就是全世界,一切都很美好的一份童真。在逃出密室後,母親仍然被昨日的夢魘所牽扯著時,我們看到的是兒子的成長。原來他早已比母親所想的成長得更多,走得更遠了。這電影就彷如一部悲劇版的Boyhood

小弟很喜歡電影初頭的處理。當觀眾還未知道發生甚麼事時,就只透過小童的眼睛,與可愛的童謠去帶領電影。一幕幕親子場面令人覺得溫馨,但你又因未知道故事而有一絲隱約的懸疑與不安感。

女主角Brie Larson表演的是影后級的演技,對兒子的感情、被囚禁的無力感、逃出後的後悔矛盾以至與家人的衝突..每個表情都是牽動人心的,小弟已很久沒有看過如此精彩的表演了。雖然小弟仍有很多提名作品未看過(其實就只看過這套),但假如Brie Larson憑大這電影奪得影后,小弟覺得無人會有任何異議。

Brie Larson已被人讚得夠多了,史丹福覺得更抵讚的是飾演兒子的小演員Jacob Tremblay。電影是從他的眼睛看世界,他的純真是電影的精髓,在他眼裡的世界都是美好的。他一雙楚楚動人的大眼睛真的很會演戲。在密室中,他相信那裡就是全世界,母親把真相告訴他,教他逃出去,他哭著叫喊"I hate you",令人心酸不已。到他第一次看到外面的世界,睜起那雙純真而驚訝的大眼睛,也很令人動容。到最後母親適應不到外面的世界,但兒子卻憑著他的真誠與純真,繼逃出密室後第二次拯救了母親,更是超級催淚的場面。

總的來說,《抖室》是非常的沉重,雖然電影盡量透過母子情及孩子的純真去淡化悲劇色彩,但再想深一層還是很令人心酸的。不過在這個如此悲哀的故事中看盡了人性的光輝,是非常令人感動的。小弟近年都看過很多令人感動的電影,有讚頌愛情的,有讚頌兄弟情的,有讚頌家國情的,但也真的很久沒有看過一部如此扣人心弦的,讚頌母子情而不老套的電影。

史丹福推介度:82/ 100

《沽注一擲》:玩味十足的金融驚悚片




「我計算得到天體的運行,卻計算不到人類的瘋狂。」大物理學家牛頓當年被南海公司泡沬中連累,損失慘重後感嘆道。

南海泡沫是人類歷史上其中一個最早期的泡沫,過了幾百年的今天,天體運行依舊簡單,人類卻變得越來越瘋狂,泡沫越來越大。《孤注一擲》說的故事就是美國次按泡沫中幾位藝高人膽大的投資者進行的超級沽空。

這是一部玩味十足的金融驚悚片。先說玩味部分,這電影極富娛樂性,往往令人回心微笑。如各個角色會隨時對著瑩幕跟你說話,跟你說個笑話,或自嘲一下,甚至會有些完全不關事的名人突然亂入,為你介紹深奧的金融概念。用的背景音樂也很好玩。

說是驚悚片,因為它是赤裸裸地把人類的瘋狂、奸詐、愚蠢、無知呈現於你眼前。原來納稅人、普羅大眾辛苦多年的血汗錢就是被那些銀行家這樣搾取掉。評級機構收錢給公司想要的評級、屋主以自己的狗的名字申請按揭、synthetic CDO如空中樓閣卻被無知的人一層疊一層地購買,原來金融世界的驚悚不知比幾多鬼片更令人心寒。

電影中的金融概念非常複雜,門外漢絕對會看得一頭霧水,但你依然會看得興起。但為免大家太過迷惘,導演還是非常貼心地加入了一堆生動簡單的比喻,甚至找來名人亂入為你介紹。如名廚以隔夜海鮮煲比喻CDO,美女以21點遊戲比喻synthetic CDO,連史丹福般的金融白痴都大約了解到。

劇情而言,故事分成3個獨立故事線,分別是3組不同的投資者,彼此間其實沒有甚麼關聯,所以略嫌鬆散。支線太多,反而有些混亂。但有些人物還是描寫得不錯的,如Ben討厭銀行制度卻作為「隱世」交易員協助兩位年輕人作沽空、Mark一直堅持作金融要有道德到最後關頭卻依然把合約賣掉,令平民傾家蕩產。

總括而言,這電影是很有娛樂性的半紀錄片,但細想一下,這故事其實比驚悚片更恐怖。所以史丹福一直喜歡那麼自然科學,因為它很單純,比人類的世界簡單得多,所有東西只要牽扯到人,就會變得很複雜很可怕。人類的瘋狂,從來都比天體的運行更加複雜。

史丹福推介度:84/ 100

2016年2月23日 星期二

史丹福滅蟲記

這是一件令史丹福非常引以為豪的往事,也是一個把化學知識活用於生活的好例子。

想當年,家中蟲禍為患,到夏天時候就會有很多飛蟲。小時候的史丹福年少無知,總喜歡用不同的方法「折磨」那些飛蟲。(小朋友都總是比較變態的。)

有一次,弟弟與我把飛蟲捉起,掉到水上,打算把它們浸死,奈何它們一直浮在水上爭扎。就算我們把飛蟲掉到廁所中再沖水,它們依然頑強地浮在水上,令我們苦惱不已。怎麼辦呢?

弟弟問我:「為什麼飛蟲會浮在水面?」弟弟問了一個非常有意思的問題,令我豁然開朗。飛蟲可以浮上水面是因為水的表面張力(surface tension),而我又記起洗潔精(detergent)可以降低表面張力。於是我把幾滴洗潔精滴了在水中,飛蟲立即失去了爭扎的能力,乖乖地沉下水底。

所以懂一點基本化學知識其實對生活很有用,至少你不會把二氧化硅當成危險品。

詳盡一點的科學解釋(會考程度化學知識)

水是極性(polar)的分子,水分子與水分子間由強大的氫鏈(hydrogen bond)連在一起。所有水分子都受到四面八方的水分子所吸引,為獨表面的水分子例外,它們只受到下面的水分子吸引,上面根本上沒有水分子。所以它們會更緊密地連在一起,盡量減少表面積,形成一層薄膜。我們稱這種力為「表面張力」(surface tension)。飛蟲就是因為這現象而可以浮在水的表面。

洗潔精分子有一個親水性(hydrophilic)的頭及疏水性(hydrophobic)的尾,而親水性又帶負電荷。它們可以包圍油滴,親水性的頭溶在水中,疏水性的尾溶在油中,負電荷令小油滴不能從新結合。所以洗潔精可以把油污化為小油滴,並溶在水中,它就是用這原理來清潔油漬。 因為疏水性的尾不溶於水中,它們會被推到水的表面,而這又會破壞水分子之間的氫鏈,所以就會降低表面張力。

2016年2月11日 星期四

那個令人心動的時代 --分子生物學

人們常說,上世紀有兩個科學史上最令人心動的年代,兩門影響後世深遠的全新學問如山洪暴發般於十數年間發展開來。這兩個年代,就如中國歷史上的三國時代,或藝術史上的文藝復興,不知出了多少風雲人物,發生了多少傳奇之事。它們分別是二、三十年代的量子力學發展期,及四、五十年代的分子生物學發展期。

說來可笑,分子生物學發展期的發展其實全靠一班量子物理學家。因為二、三十年代時候量子力學發展得實在太快太快太快了,年輕一輩都擔心可以做的研究都被前輩做光了,難以超越前輩,剛巧量子力學之父薛丁格寫了一本名為《生命是甚麼?》的書,探討生物學的物理基礎,他透過物理學的分析,認為基因是一個非週期性的結晶,有一組濃縮的密碼。這本書的出現把無數的物理學家吸引了過生物學的領域,所以在以下的故事中,你會聽到很多物理學家的名字。史丹福今次就想說說四、五十年代的分子生物學令人心動的發展故事。

基因是甚麼?

孟德爾(Gregor Johann Mendel)早在1865年就憑種豌豆的實驗導出遺傳學發則,他知道基因的運作方法,卻不知道它是甚麼。大約五、六十年後,摩根(Thomas Morgan) 研究果蠅的遺傳,從而得知基因就在染色體中。

但究竟基因由染色體的那一部分組成呢?

在科學家還沒有任何線索之前,讓我們先看一個很有意思的實驗,稱為「格里菲斯實驗」(Griffith's experiment)。格里菲斯(Frederick Griffith)是一位英國醫生,1928年當他做肺炎鏈球菌疫苗研究時有一個很神奇的發現。用來感染老鼠的肺炎鏈球菌有兩種型態,一種「皺皮型」,叫R(R代表rough);另一種「白白滑滑型」,叫S(S代表smooth)。白白滑滑型的防禦能力較強, 因為它有一個多糖(polysaccharide)筴膜,可以保護細菌免受免疫系統攻擊。所以皺皮R型對老鼠無害,白白滑滑S型可以把老鼠殺死。格里菲斯把加熱燒死的S注射入老鼠,理所當然的對老鼠無害。但神奇的事是,當格里菲斯把加熱燒死的S及活的R一起注射到老鼠體內,老鼠竟然被殺死了!更神奇的是,他竟然在老鼠體內發現活的SS竟然可以死過翻生!他提出S有一種「轉型因子」,包含了多糖筴膜的基因,即使把細菌殺死了,「轉型因子」仍在,當R得到了這些轉型因子,就可以借屍還魂,重新變成白白滑滑的S型,把老鼠殺死。



接著要介紹的是分子生物學的一代宗師,分子生物學曾出現過很多極奇妙極美麗的實驗,而他所做的可說是分子生物學上第一個革命性的美麗實驗,他名叫埃弗里(Oswald Avery)。當時基因的載體有幾個候選對象,分別是蛋白質、DNARNA,其中以蛋白質的呼聲最高,因為蛋白質由20種酸組成,而DNA則只有4種鹼基組成。埃弗里與其同事延續了格里菲斯的實驗,他用去除蛋白質的酶處理加熱燒死的S型肺炎鏈球菌,再把它們及活的R型肺炎鏈球菌一起注射到老鼠體內,老鼠一樣死去,也就是「轉型因子」不是蛋白質,因為即使沒有了蛋白質,R皺皮型肺炎鏈球菌依然能轉換成S白白滑滑型。埃弗里又把去除RNA的酶處理加熱燒死的S型肺炎鏈球菌,把它們與活的R一起注射到老鼠體內,老鼠還是死去。最後他把去除DNA的酶處理加熱燒死的S型肺炎鏈球菌,及活的R一起注射到老鼠體內,這次老鼠竟然沒有死去,沒有了DNAR型肺炎鏈球菌就不能轉型成S型,明顯地「轉型因子」就是DNA,所以基因就在DNA中。



這是一個非常優雅的實驗,箇中的科學方法及邏輯推理都是極級的,但可惜當時的科學家都不太重視這個實驗。他們堅信基因的載體是蛋白質,因為他們真的不能夠接受只有4種鹼基的DNA組成的密碼可以構成如人類般複雜的生物。埃弗里自己起初也不太相信,於是極小心地把實驗重複,防止一切可能出錯的地方,但仍未能使科家界信服。埃弗里也於是成了史丹福心目中其中一位最應該拿卻拿不到諾貝爾獎的科學家。

一直要8年以後,才有人為他報仇雪恨。當時有一組對噬菌體(bacteriophage)很有興趣的科學家組成了「噬菌體集團」。噬菌體是一種感染細菌的病毒,由外殼包著遺傳物質,它的形狀如下,有點像外星怪物。



由於噬菌體繁殖得很快,比傳統遺傳學用的果蠅快非常非常多,所以很適合用來做遺傳學的研究。「噬菌體集團」中的賀西(Alfred Day Hershey)(Hershey不只是朱古力,更是很厲害的科學家)和他助手蔡斯(Martha Chase)做了以下的實驗,把噬菌體分別在P-32 (放射性的磷同位素)S-35(放射性的硫同位素)中培養,DNA有磷沒有硫,蛋白質有硫沒有磷。當噬菌體感染細菌時,會把遺傳物質注入細菌內部,外殼則遺留在外。賀西發現,只有在P-32中培養的噬菌體,才可令細菌內部有放射性。所以噬菌體注入細菌的遺傳物質,必然是含有磷的,也就是DNA。這一項實驗以後,生物學界終於知道自己走寶了,把目光全部焦聚在DNA上。



DNA結構之五雄對決

眾人皆醉他們獨醒,當全世界仍相信生命的密碼位於蛋白質時,有幾位很有遠見的科學家已經知道DNA才是生命的密碼,致力解開DNA的結構。他們為了爭奪成為首位解開DNA秘密的人,可以說是無所不用其極,爾虞我詐,故事比小說、電影更有戲劇性,所以他們其中一位,華生(James Watson),也真的寫了一本比小說更有戲味的自傳──《雙螺旋》。史丹福經常想像,如果這自傳可以改篇成電影,應該會精彩極了,說不定更可成為奧斯卡級的電影。

言歸正傳,先介紹爭奪戰的五位主角。

華生系出「噬菌體集團」,後來一次機會下偶爾從倫敦大學國王學院(King College)X射線晶體專家威爾金斯(Marice Wilkins)的演說中,認識到X射線晶體學的威力,自始就很想學習此術用於研究DNA結構。由於X射線的波長與原子間的距離接近,所以當X射線經過原子時會有相當程度的繞射,透過繞射的數據,科學家就可以推斷分子的結構,就好像為分子拍了張照片一樣。當時世界上有幾個大研究中心都精於利用X射線繞射研究生物大生子結構,一為美國加州理工學院,但那裡已經有一位明星級的化學家鮑林(Linus Pauling)(之後會再詳盡介紹他)坐陣,鮑林太過出色,反而使華生不太想跟他合作,於是他進了另一所X射線繞射的重要中心,劍橋大學的卡文迪西實驗室。那兒也有比魯茲(Max Perutz)及肯祖魯(John Kendrew)兩位用X射線繞射術研究血紅素(hemoglobin)及肌紅素(myoglobin)的權威,令華生可以放心學習這種技術。

在劍橋中,華生遇到了影響他一生的人--克拉克(Francis Crick)。他們二人組成了科學史上最形影不離,最有愛的組合。「能成為密友大概總帶著愛」,應該就是用來他們這種密友(科科科) 。克拉克本為物理學家,二次大戰期間去了幫助政府研究水雷,所以拿不到博士學位。之後他到了劍橋大學卡文迪西實驗室想去完成他的博士學位。華生與克拉克一碰上了談起DNA的重要,很快他們就知道他們找對了自己的「另一半」。

除了卡文迪西實驗室外,另一路研究DNA結構的人馬就是之前提及倫敦大學國王學院的威爾金斯及女科學家富蘭克林(Rosalind Franklin)。雖然他們來自同一間學院,但其實二人互有心病,根本上是各有各做的,嚴格來說他們根本就不是同一伙的。

富蘭克林是一位獨立且實驗技巧高超的女科學家,她拍X射線繞射照片的技術無人能及。威爾金斯本想找一個助手為自己拍X射線照片,但富蘭克林是一個很有主見的女強人,她覺得女性不該屈居男性之下,她要做自己想做的實驗,她要做自己想做的研究。於是兩人如火星撞地球,各不相讓,研究都是各有各做的。

最後要介紹的是天才明星級的化學家鮑林。他是真真正正的科學界明星,他是化學界的愛因斯坦,傳聞他是直接以量子力學方式在腦海思考化學結構的。他在科學生涯早期已以量子力學看穿了化學鏈的真面目,orbital hybridizationresonanceelectronegativity等以前A-level chemistry令大家很頭疼的概念,都是出自他身上。在量子化學之後,他又把興趣轉到生物化學。他在DNA競爭白熱化之前已經發現了蛋白質中的α螺旋結構,大家都很看好他會再下一城,破解到DNA的結構。華生從頭到尾都把他當成最強的對手,是天敵,是世仇。

好,介紹完人物之後我們可以開始正式說故事了。當時正值鮑林發現了蛋白質α螺旋結構的時候,他以其驚人的直覺及構建模型的方法得出這漂亮的結果。華生與克拉克也深受他的影響,覺得DNA也應有螺旋形結構,以不斷重複的大分子來說,螺旋形是最好的結構。但他們第一次嘗試破解DNA結構卻失敗了,更被卡文迪西實驗室的主管下令停止研究,因為他覺得DNA結構屬於國王學院的研究,是屬於是威爾金斯的研究,他們實在不應搶來做。

另一邊廂,富蘭克林繼續做她的實驗,拍她的X射線繞射照片。威爾金斯被富蘭克林搞到心力交瘁,沒有甚麼心情再研究DNA問題,處於愛理不理的狀態。而在大西洋的對岸,華生最擔心的事終於發生了,鮑林開始對這問題發起攻勢。華生及克拉克發現他提出的結構竟然很像他們之前放棄了的結構,他們很憂心,難道他們白白地錯過了正確的答案? 但當他們再細想那結構時,發現那個結構竟然錯到不得了,DNA是去氧核糖核酸,但那結構甚至連酸都不是。天才明星鮑林竟然犯了一個中學程度的錯誤?

華生與克拉克於是再對問題發起第二輪進攻。一般相信鮑林沒能得出正確的答案是因為政治問題,麥卡錫主義的興起令他得不到簽證前往英國的學術會議,看不到富蘭克林拍的X射線繞射照片。但華生卻沒有此問題,他更有其他途徑得到富蘭克林未發表的數據,一是透過威爾金斯,二是透過比魯茲(之前約略提過用X射線繞射研究血紅蛋白的科學家),他是一個科學委員會的主席,而該科學委員會因要知道各實驗室的進度,可以得知它們未公開的數據。這就是富蘭克林拍到的關鍵照片。



再加上克拉克留意到一個鮮為人知,卻非常重要的發現──查加夫法則(Chargaff's rule)。查加夫(Erwin Chargaff)是一位生化學家,他研究不同生物中DNA的成分,發現adeninethymine的含量永遠大致相等,而guaninecytosine的含量又永遠大致相等。

現在華生與克拉克相信他們已經掌握到足夠的彈藥,於是他們再大規模構建模型。他們做了很多不同放大了的原子及化學鏈,再嘗試用合乎科學發則及實驗數據的方法把它們併在一起。富蘭克林一向對這方法嗤之以鼻,認為這是偏門走捷徑的方向,她堅持要以實驗結果加傳統數學方法把它擊破。但華生與克拉克知道這其實是很科學化的方法,一方面他們已從富蘭克林的照片中得知DNA必定有螺旋結構(富蘭克林自己反倒不相信),另外他們也知道DNA中的phosphate group理應在螺旋的外面(這是鮑林所不知道的,因為他沒看過富蘭克林的照片)。另外,他們深知查加夫法則事關重大,最後想到在螺旋的內面,adeninethymineguaninecytosine必定是成雙成對出現的。最後,他們得出了一個美得令人心醉的雙螺旋DNA模型。



大家都一定見過DNA那舉世知名,深入民心的雙螺旋結構吧? 就像一條扭曲了的拉鏈。拉鏈有兩條平行的窄布料,中間有凸凹的齒把它們扣著,而deoxyribosephosphate就是那兩條平行的布料,也就是雙螺旋的骨架部分,而nitrogenous base就是那些凸凹的齒,adenine(A)thymine(T)guanine(G)cytosine(C)以氫鏈連著,它們永遠成相成對出現,A對面一定是TG對面一定是C,我們稱之為互補。只有如此,nitrogenous base才可以如此完美無暇地填進雙螺旋的中央。這結構是多麼的簡單而美麗,單看著它,你已經解釋到DNA如何儲存訊息,如何複製自己,如何製造蛋白質。



最後,華生、克拉克及威爾金斯在1962年憑著研究DNA結構而獲得了諾貝爾生理及醫學獎。另一位重要功臣富蘭克林因癌症英年早逝,未能夠分享這榮譽,令人可惜。而有趣的是,當年獲得諾貝爾獎的人全部都是「自己友」。化學獎得主是比魯茲及肯祖魯(之前約略約過用X射線繞射術研究血紅素及肌紅素的兩位科學家),甚至連完全不相干的和平獎都由鮑林獲得,以表揚他呼籲科學家共同反對發展大殺傷力武器。鮑林也成了諾貝爾史上唯一一位同時獲得科學獎及非科學獎的得獎者(他在1954年已因化學鏈的研究而獲得化學獎)

下回預告


DNA結構大戰的結果已塵埃落定,但令人心動分子生物學年代仍未完結。下回我們將有生物學史上最美麗的實驗(是公認的,不只是史丹福說的),有除了華生及克拉克外另一對很有愛的超級研究組合。欲知後事如何,且聽下回分解。

2016年2月4日 星期四

瘋子坐飛機

這是其中一條我遇過最精彩、最神奇的數學題,問題如下:有一班航機,有100個座位,由1-100編好。1號乘客坐1號座位,2號乘客坐2號座位,3號乘客坐3號座位,如此類推,100號乘客坐100號座位。現在乘客由1-100號順序慢慢進座,可惜1號乘客是個瘋子,他會隨機選擇一個座位。其他乘客如果見到自己的座位仍是空的,他們就會坐進去;但如果他們見到自己的座位已被其他人坐了,他們就會在剩下的座位中隨機選擇一個坐進去。試問到最後,100號乘客坐到100號座位的機會有多大?

這題目可不簡單啊,史丹福當年可是想了一個小時的車程才想得到的。這是史丹福當年的思路:

最初我想嘗試認真地計conditional probability,把所有可能列出,最後當然失敗了。於是我就嘗試由簡單的例子著手,希望找到點頭緒。

假如只有2個乘客、2個座位,2號乘客坐到2號座位的機會當然是1/2

假如只有3個乘客、3個座位,那所有的可能性如下:

1號座位
2號座位
3號座位
情況1
1
2
3
情況2
2
1
3
情況3
3
1
2
情況4
3
2
1
3號乘客坐到3號座位的機會都是1/2

假如只有4個乘客、4個座位,那所有的可能性如下:

1號座位
2號座位
3號座位
4號座位
情況1
1
2
3
4
情況2
2
1
3
4
情況3
3
1
2
4
情況4
4
1
2
3
情況5
4
1
3
2
情況6
3
2
1
4
情況7
4
2
1
3
情況8
4
2
3
1
4號乘客坐到4號座位的機會依然是1/2

Hmmm2個座位、3個座位、4個座位的情況都是1/2。那看情況,如無意外,100號乘客坐到100號座位的機會都應該是1/2了吧。但如何證明呢?

很熟口熟臉吧? 2推到3,從3推到4,從4推到5... 一直推到100,推到無限。這類問題當然又要用到我們中學時期A MathsPure Maths的老朋友,最所向披靡、最無所不能的萬能key ── mathematical induction (MI)

如果你夠心水清的話,在n個乘客、n個座位的情況下,如果第1號乘客坐了第r個座位,第2號乘客就會坐第2個座位,第3號乘客就會坐第3個座位r-1號乘客就會坐第r-1個座位,由於第r個座位已被第1號乘客坐了,第r號乘客就會隨機選擇一個座位。這時候第r號乘客就變成了那位瘋子,這個情況就可以簡化成只有n-r+1個乘客、n-r+1個座位的情況。

現在讓我formally,很嚴謹地proof多一次:

Let P(n) be the proposition “in the situation with n passengers and n seats, the probability of the n-th passenger seating on the n-th seat is 1/2”

When n=2, P(n) is obviously true.

Assume P(2), P(3), P(4), … P(k) is true for some positive integers k.

When n=k+1,
If the 1st passenger sits on the 1st sit, the probability of the (k+1)-th passenger seating on the (k+1)-th seat is 1.
If the 1st passenger sits on the (k+1)-th sit, the probability of the (k+1)-th passenger seating on the k+1-th seat is 0.
If the 1st passenger sits on the r-th sit, where r =/= 1 or k+1, the situation is equivalent to the situation of n-r+1 passengers and n-r+1 seats (from the above discussion), and the required probability is 1/2 (By P(n-r+1))
So the probability of the (k+1)-th passenger seating on the (k+1)-th seat = 1/(k+1) * 1 + 1/(k+1) * 0 + (k-1)/(k+1) * 1/2 = 1/2
Therefore P(k+1) is also ture.

By mathematical induction, P(n) is true for all positive integers n.

所以100個乘客機會是1/21000個乘客機會是1/210000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000個乘客機會仍然是1/2


呵呵,這題問題神奇及精彩的地方,在於竟然可以在你完全意想不到的場合用到老朋友mathematical induction,太溫馨了。