2017年8月23日 星期三

架空電纜的形狀

上回提及伯努利兩兄弟雅各(Jakob Bernoulli)及約翰(Johann Bernoulli)是家族中最出色的天才數學家,他們二人互相忌,誓要擊敗對方,成為第一,可謂「既生瑜,何生亮」。原來早在「最速降線問題」之前,他們二人已經交戰過很多個回合,其中一個交戰的問題是「一條質量均勻分佈而不可延伸的長鏈,懸掛於兩支點,因重力作用而向下彎曲形成之曲線是甚麼形狀的?」

用簡單一點的文字來說,就是如果我們把一條長鏈的兩點懸起,就像是架空電纜一樣,那麼長鏈形成的曲線是甚麼形狀呢?這是一幅小弟在日本犬山明治村拍攝的圖片,圖中的架空電纜就由成了這樣的一條曲線。



這題問題由來已久,大名鼎鼎的伽里略曾經以為這曲線是拋物線,其後被證明了是錯的。參看下圖,懸鏈線跟拋物線雖然看起來近似,但其實又不完全一樣。

Adapted from Intmath

之後,雅各再提出了這題問題挑戰其他數學家。最後,這題問題在1691年被3位明星級的數學家破解,他們分別是約翰、惠更斯(Christiaan Huygens,力學及波動學的元老級人物)及萊布尼茲(Gottfried Leibniz,除了牛頓外另一位微積分的始創人)。

在今天看來,這題問題只是很標準的大學微分方程問題,解法如下:

Adapted from Wikipedia

參考上圖,設T是線段的張力(Tension),T0是最低點的張力ρ是長鏈的密度。




為了方便起見,我們可以選擇適當的X軸及Y軸令C1C2都是0,那麼方程式就會變成


其中cosh,全名hyperbolic cosine,是一個雙曲函數。




懸鏈線在建築學上是很常見的曲線,例如吊橋雙曲拱橋等都用了懸鏈線的形狀。

聖路易斯拱門(Adapted from Wikipedia)

值得一提的是,很多人都以為青馬大橋等的懸索橋中鋼纜形成了懸鏈線,但其實鋼纜彎曲的原因並非因為本身的重量,主要是因為支持橋面的重量,鋼纜本身重量相對地反而很少,所以它並不完全是一條懸鏈線,反而是比較接近拋物線。