2020年2月28日 星期五

血液寄生族


韓國電影《上流寄生族》叫好叫座,更獲得了奧斯卡最佳電影的殊榮,成為了首套獲得此榮耀的外語電影,風頭一時無兩。韓國有「上流寄生族」,香港也有不少「下流寄生族」。不過,寄生族除了在貧富懸殊的社會及官場上出現外,在血液中都偶爾會見到的。

香港作為一個發達社會,寄生蟲疾病是較為少見的。不過史丹福還是有一些血液中的寄生蟲圖片可以跟大家分享。當然,以下圖片可能令人情緒不安,膽小者請慎入。

首先介紹的是這種班氏絲蟲(Wuchereria bancrofti)。在形態上,班氏絲蟲與羅阿絲蟲(Loa loa)及馬來絲蟲(Brugia malayi)類似,不過班氏絲蟲的尾巴是沒有細胞核的,我們可以靠這個特徵去分辨牠與其他絲蟲。

班氏絲蟲


班氏絲蟲會入侵及破壞淋巴系統,影響手腳的淋巴液循環,令手腳出現嚴重的水腫,皮膚變厚。受影響的手腳變到粗得像象腿一樣,因此這疾病又叫做象皮病(elephantitis)。

象皮病患者的雙腿(來源:Wikipedia)

 班氏絲蟲其實跟香港很有淵源。研究班氏絲蟲的權威,有「熱帶醫學之父」之稱的白文信爵士(Sir Patrick Manson)是位蘇格蘭醫生,卻在香港行醫多年,並在1887年創立了香港華人西醫書院,是今日香港大學醫學院的前身。他是該學院的首任院長,孫中山則是該校第一屆畢業生。就讀港大醫學院的朋友聽到白文信爵士的名字應該會覺得異常親切吧,因為位於沙宣道的香港大學醫科生宿舍白文信樓就是以他來命名。更有趣的是,他更從蘇格蘭引進乳牛,在薄扶林飼養並生產牛奶出售,他成立的公司就是今天大家都很熟悉的牛奶公司。

白文信爵士最大的貢獻在於發現班氏絲蟲需要透過蚊子完成其生命周期,並發現蚊子可以傳播班氏絲蟲。他建造了一間蚊子屋,然後請象皮病的病人在蚊子屋中睡一晚,然後再在朝早捉蛟子去解剖牠們。這個發現在當年是劃時代的,在此之前沒有人知道原來昆蟲可以傳播疾病。他更盡一步提出蛟子也可能是瘧疾的傳播媒介,並建議英國軍醫官羅斯(Ronald Ross)研究這理論,結果這理論被羅斯證實了,羅斯亦因此而獲得了1902年第二屆的諾貝爾生理學或醫學獎。

站在血液化驗的角度來說,班氏絲蟲等絲蟲是很「蠱惑」的。分享一下自己經驗,史丹福數年前到英國受訓,當年的導師準備了很多不同的周邊血液抹片去考我們。在其中的一張抹片中,史丹福只見到很高的嗜酸性白血球(eosinophils)數量,看不到其他問題。但導師開估時,這抹片中竟然有幾條班氏絲蟲!而且一同受訓的醫生中,有九成都看不到絲蟲。大家可能心想,絲蟲這麼大條,不是比血細胞大得多嗎?為何大家都看不到呢?這是因為絲蟲在血液抹片的數量不多,可能整張抹片只有一兩條,大多數時候更躲了在抹片邊的位置,如果不細心地觀看完整張抹片,是很容易遺漏的。

接下來要介紹的是我在英國受訓時遇到的另一個案例。由於顯微鏡的問題,所以圖片的品質不太好,還望大家多多見諒。

利什曼原蟲

 圖中中間所見的細胞有很多透明的泡沫狀物質,它是一粒巨噬細胞(macrophage)。大家可以見到中間有很多密密麻麻的一點點,那些是引起利什曼病(leishmaniasis)的利什曼原蟲(Leishmania)。

利什曼病是一種由沙蠅(sandflies)傳播的寄生蟲疾病。這種寄生蟲主要活躍於非洲、中及南美洲、歐洲南部及印度。寄生蟲進入身體後,會被巨噬細胞所呑噬,但這簡直是引狼入室,因為寄生蟲會在巨噬細胞中分裂,產生更多的寄生蟲,之後再走到血液中,攻擊其他細胞。

被沙蠅咬到的傷口會出現潰爛,一般都要半年以上才會癒合,令病人的皮膚留下難看的疤痕。

在皮膚症狀後的幾個月至一年的時間,寄生蟲可能會開始影響身體其他器官,令病人出現發燒、疲勞、肝脾腫脹(病人可以有非常巨大的脾臟腫脹)、貧血等症狀,嚴重的甚至會死亡。這個情況被稱為內臟型利什曼病(visceral leishmaniasis),又叫黑熱病(Kala Azar)。

利什曼病雖然在香港很罕見,卻是一個影響世界很多人的疾病。世界各地每年共有大約二百萬個新個案,做成二萬至五萬人死亡。

要避免利什曼病,最重要就是避免被沙蠅咬到。當去利什曼病流行的地方旅遊時,要避免在黃昏和晚上到戶外或樹林之中活動,時常穿著長袖子的襯衫和褲子及住宿於有空調或裝有防蚊網的地方。

下圖顯示的又是另一種寄生蟲──錐蟲(Trypanosoma)。牠是一種帶有鞭蟲的原生動物,所以又叫做鞭毛蟲。錐蟲在非洲及南美洲最為流行。錐蟲比些我們在文章最初介紹的絲蟲要小得多,大小與一顆紅血球相約。

錐蟲

這種寄生蟲雖小,殺傷力卻非常驚人。惡名昭彰的非洲昏睡症(African sleeping disease)就是由布氐錐蟲(Trypanosoma brucei)所引起的。布氐錐蟲由采采蠅(Tsetse fly)傳播。牠引起的非洲昏睡症初期症狀包括發燒及頭痛,之後演化至神智不清,癲癇、嗜睡,最後昏睡不醒而死。傳說中西非馬里帝國的開創者,曼丁哥人(Mandingos)傳說中的民族英雄 Mari Jata就是染上了這種疾病,昏睡大約2年後死亡。錐蟲可以說是非洲殖民者的殺手,僅僅在1896年到1906年間英國殖民地烏干達就有25萬人死於非洲昏睡症,而在剛果盆地的死亡人數則超過了50萬。

至於南美流行的錐蟲則是另一個品種克氐錐蟲(Trypanosoma cruzi),牠由接吻蟲傳播,並會入侵截然不同的器官,引起心臟衰竭、食道擴張及巨結腸症。這種由克氐錐蟲引起的疾病叫做恰加斯病(Chaga disease)。

最後當然少不了介紹一下血液科醫生的老朋友──瘧原蟲,也就是引起瘧疾的寄生蟲。瘧疾是全球最流行的寄生蟲疾病。寄生蟲在進入血液後就會走到紅血球內生長。患者通常會出現有發燒、發冷、頭痛等病徵,嚴重的病人更會出現器官衰竭、昏迷甚至死亡。雖然瘧疾是一個傳染病,不過在醫院中傳統上都是由血液學化驗室而不是微生物學化驗室作診斷的。

瘧原蟲分5個品種,分別是惡性瘧原蟲(Plasmodium falciparum)、間日瘧原蟲(Plasmodium vivax)、三日瘧原蟲(Plasmodium malariae)、卵形瘧原蟲(Plasmodium ovale)及諾氏瘧原蟲(Plasmodium knowlesi)。史丹福在其他舊文章中已經介紹過惡性瘧原蟲及間日瘧原蟲,今次不如介紹一下較少見的三日瘧原蟲。

瘧原蟲在人體中會經歷不同的生命階段,每個階段都有不同的形態。三日瘧原蟲的活動體(trophozoites)又一個特別的特徵,就是呈桿狀(band form),這與其他瘧原蟲中常見的環狀或阿米巴狀有所不同。

三日瘧原蟲的活動體


瘧原蟲在入侵細胞後會進行有絲分裂,複製自己,形成裂殖體(schizonts),三日瘧原蟲的裂殖體入面有612粒裂殖子(merozoite),裂殖體破裂之後,裂殖子就會傾巢而出,再導感染新的受害細胞。三日瘧原蟲特別的地方在於牠的裂殖體中的裂殖子排列得很整齊,就像雛菊的花朵,大家又覺得像不像
三日瘧原蟲的裂殖體

雛菊的花朵(來源:Wikipedia)

三日瘧原蟲引起的瘧疾比較溫和,致命性不如惡性瘧原蟲。最後值得一提的是,大家知不知道為何三日瘧原蟲會叫三日瘧原蟲?瘧疾患者有一個特別的病徵,就是週期性高燒,它的週期以瘧原蟲在人體血液內進行之無性分裂之生殖週期而定,惡性瘧比較不規則,間日瘧及卵形瘧均為48小時,三日瘧的週期則為72小時,也就是三日,是在各種瘧疾中較為獨特的。


資料來源:

1.  Kumar, V., Abbas, A. K., & Aster, J. C. (2015). Robbins and Cotran pathologic basis of disease. Philadelphia: Elsevier-Saunders.

2.  Bain, B. J. (2015). Blood cells: a practical guide. Chichester, West Sussex: John Wiley & Sons Ltd.

3. To, K. K., & Yuen, K.-Y. (2012). In memory of Patrick Manson, founding father of tropical medicine and the discovery of vector-borne infections. Emerging Microbes & Infections, 1(1), 1–7.

2020年2月20日 星期四

血液細胞狂歡大食會2


人生得意需盡歡,歡樂時最應該開一個狂歡大食會慶祝。史丹福的舊文章與大家討論過一些像是食物的血液細胞,今次再接再厲,讓我們繼續「血液細胞狂歡大食會」。

首先出場的是濾泡性淋巴癌(follicular lymphoma)的癌細胞。濾泡性淋巴癌的細胞很特別,細胞核就像是個薄餅被𠝹了一刀,一分為二,令人一見難忘。



濾泡性淋巴癌是種B慢性淋巴增殖性疾病(B-lymphoproliferative dissorder),它的「祖先」是淋巴結生發中心(germinal centre)中的中心細胞(centrocytes),它們在顯微鏡下都有這種細胞核被𠝹開的「薄餅」模樣,所以演化出來的癌細胞都仍然帶有這外觀。

濾泡性淋巴癌大多都是由染色體1418移位,交換了物質引起。這令到BCL2IgH基因座靠近,迫使BCL2過度表現。BCL2是防止細胞淍亡(apoptosis)的基因,過度表現會令淋巴細胞不能死亡,於是出現基因突變的淋巴細胞不斷生長,變成癌症。

濾泡性淋巴癌的病徵包括淋巴結腫脹、肝脾腫脹、B症狀(發燒、體重下降、食慾不振)、骨髓功能障礙引起貧血、流血、感染,及自身免疫系統症狀等。

睇好戲除了吃花生之外,其實吃爆谷都是個很好的選擇。

以下就有一顆「爆谷細胞」(popcorn cells)。



「爆谷細胞」這名稱可不是史丹福改的,而是真的在學術界中通用。大家打開一本血液學的教科書,真的會見到這名稱的出現。

它是一種結節型淋巴細胞為主型何杰金氏淋巴癌(Nodular lymphocyte predominant Hodgkin lymphoma,簡稱NLPHL)的癌細胞。結節型淋巴細胞為主型何杰金氏淋巴是一個非常繞口難記的名稱,但大家只要知道它是一種特殊的何杰金氏淋巴癌(Hodgkin lymphoma)就好了。由於免疫表型(immunophenotype)與臨床表現都與傳統的何杰金氏淋巴癌不同,所以大家普遍都不把它當成一般傳統的何杰金氏淋巴癌。

在顯微鏡下,傳統的何杰金氏淋巴癌細胞如有兩顆大眼睛。這種細胞叫Reed-Sternberg細胞,以兩位發現者命名。但NLPHL的癌細胞就如爆谷般,大且呈多葉細胞核,微小粒狀(finely granular)的染色質(chromatin)及較小的核仁(nucleoli)。

大家夠飽了嗎?要不要來點水果做甜品?

這是顆像荔枝般的紅血球。



在診斷甲型地中海貧血症(α thalassaemia)時,我們會利用煌甲酚藍(Brilliant cresyl blue)染料,這種染料可以把紅血球中的HbH紅色蛋白染成藍色。

甲型地中海貧血症患者的α球蛋白基因出現突變。一般成年人的紅血蛋白叫做HbA,由兩條α球蛋白鏈(α globin chain)與兩條beta球蛋白鏈(β globin chain)組成。當病人減少製造α球蛋白鏈,多出來的β球蛋白鏈就會自行結合成由四條beta球蛋白鏈組成的HbH

HbH
聚集成包涵體(inclusion bodies),可以被煌甲酚藍染料上色。當紅血球中有大量的HbH包涵體,看起來就像是荔枝。甲型地中海貧血症基因攜帶者血液中有少量帶有HbH包涵體的紅血球,而較嚴重的患者(如HbH疾病患者)就會有大量這種「荔枝」紅血球。

如果大家還未夠喉的話,我們還有香蕉。



這是我們的老朋友瘧原蟲,牠是一種引起瘧疾寄生蟲。寄生蟲在進入血液後就會走到紅血球內生長。患者通常會出現有發燒、發冷、頭痛等病徵,嚴重的病人更會出現器官衰竭、昏迷甚至死亡。

瘧原蟲有5個不同品種,其中以惡性瘧原蟲(Plasmodium falciparum)最為可怕,可以迅速致命,所以醫生及化驗師必須快而準地從周邊血液抹片中辨認得到惡性瘧原蟲。瘧原蟲在人體中會經歷不同的生命階段,每個階段都有不同的形態。例如惡性瘧原蟲在血液中最常見的形態是活動體(trophozoites),呈一個指環般的形象,那是最重要的特徵。有趣的是,我們偶爾也可以在血液中找到少量的配子母細胞(gametocytes),大家可以把它想像成瘧原蟲的生殖細胞。蚊子吸血的時候可以吸到這些配子母細胞,它們就是做成瘧疾傳播的原兇。而惡性瘧原蟲的配子母細胞就是呈這種有趣的香蕉形狀。

希望大家都有個盡興的狂歡大食會,在大食會完結前,讓史丹福送多兩張充滿歡樂氣氛的圖片給大家。



2020年2月18日 星期二

2019年史丹福最喜愛的電影


第十位:《淪落人》



《淪落人》是個平凡的故事,它只不過是在描述兩個平凡到接近卑微的小人物。但電影卻成功在平凡中帶出不平凡。故事雖然看起來很簡單,就只是兩位主角在一年相處中遇到的生活小事,但拍起來卻非常精細,讓人可以從小事中感受到兩位主角的感情變化。他們的小故事滿佈正能量與人性光輝,描述了最純真的人心與最真摯的感情,笑中有淚。

第九位:《密室逃殺》



無疑,這是一套沒有甚麼深度的低成本驚嚇片,不過勝在氣氛出色,節奏極快。電影講述一班玩家玩密室逃脫遊戲,誰不知遊戲是「嚟真」的,破解不到密室的任務,玩家就會喪命。電影非常緊湊,全無冷場,「密室」設計有心思,環環相扣,又很有創意及特色,要用腦緊張且驚嚇之餘也確實有玩味。

第八位:《Hello world



新海誠在今年推出《天氣之子》,畫風依舊美麗,故事稍嫌失色。反觀這套較為少人所認識的日本動畫《Hello World》,雖然畫風未及新海誠的作品,但故事卻是極為精彩。表面以守護初戀女友為題,很是青春,實則上卻大玩時空交錯、虛擬世界,當中的真真假假、虛虛實實,真令人拍案叫絕,複雜的程度直迫Inception,再加插純愛及動作元素,集各家之大成。這種科幻純愛風格,甚有《你的名字》影子,只不過格局更宏大,玩得更盡。

第七位:《綠簿旅友》



這是一套令人內心溫暖的電影。雖然是要帶出種族歧視的問題,但難得沒有過分的悲傷煽情,恰到好處。故事講述受過高等教育的黑人音樂家開始全國巡迴演出,並請了一位市井的白人做司機。音樂家表面上地位極高,受人尊重,實則上卻因為種族的問題受盡不公平對待。音樂家與司機本來互相看不起大家,卻在旅程中慢慢建立起一段兄弟情誼。電影的喜劇感十足,對白有智慧之餘又充滿幽默感。音樂家與司機的關係微妙,慢慢轉變,十分自然且感人,兩位演員Mahershala AliViggo Mortensen火花十足,非常合拍,演出賞心悅目。我喜歡這電影沒有過分地渲染悲情,雖然主角受盡不公平的對待,但電影依然保持著一個輕鬆的調子,再加上兩位主角令人感動的友誼,令電影笑中有淚。

第六位:《我們·異》



導演Jordan Pelle的前作《Get Out》平地一聲雷,叫好又叫座。今次他再就再勵,繼續以驚嚇片說社會問題,電影充滿政治喻意,談討的是「我們」究竟是甚麼。電影的緊張驚嚇度十足,故事結構宏大,懸疑度高,劇情吸引。詭異度與不安應在隨著故事的推進而越演越烈,不過說到最驚為天人的,始終是電影背後的喻意。事實上,導演之後也另外拍片在youtube解釋電影每個畫面每樣事物背後的意思,真令人不得不佩服導演的誠意與心思。

另外值得一提的是,電影最震撼的一幕是分身人手拖手組成人鏈,橫跨美國。想不到電影上映幾個月後,情節居然在香港成真。




第五位:《安眠醫生》



拍續集是很難的,拍一套超級經典的續集就更難了。《安眠醫生》是超級經典驚嚇片《閃靈》的續集。厲害的是,《安眠醫生》走的是與《閃靈》截然不同的路線,卻是有另一番的好看。故事講述中年的丹尼因童年的經歷而頹廢不已,因緣際會在朋友的幫助下重回正軌,更以自己「閃靈」的能力助人,最後要幫助一位同樣有「閃靈」能力的少女逃避擁有神秘族人的追捕。有別於《閃靈》的心理驚嚇路線,《安眠醫生》走的是鬥智鬥力對決的路線。丹尼幫助少女的情節,更有師徒相傳之感。雖然與《閃靈》的風格完全不同,卻有一份獨立的好看。結局最後再帶到當《閃靈》中的酒店,不停呼應原著《閃靈》,也為結局掀起個大爆發的高潮,喜愛舊作的人必定有所共鳴。總的來說,我覺得這是少有地可以向經典致敬之餘又加入了大量創新元素,拿捏平衡做得非常好的電影續集作品。

第四位:《孟買酒店》



電影以2008年孟買恐襲改編,講述恐怖分子襲擊泰姬陵酒店,射殺多人,又脅持了很多住客作人質,酒店員工捨己救人,努力保護住客安全。全片的實感極強,觀眾仿如置身在酒店中與恐怖分子一起「困獸鬥」,緊張至極,令人透不過氣。更令人欣賞的電影在帶出絕境下的人性光輝,酒店員工克盡己任,捨己為人;住客為生存而奮鬥到底。即使在最惡劣的環境下,仍然有人願意展露美麗的人性,令人動容。

第三位:《神探白朗:福比利大宅謀殺案》



這是上年其中一個最大的驚喜,也是久遺了的偵探片佳作。劇本非常精彩,明顯落足心思。峰迴路轉,高潮迭起,引人入勝之餘又言之成理,沒有很多偵探片玩得太盡而出現犯駁的感覺,令觀眾大過偵探癮。好的劇本是成功偵探片必不可失的元素,但難得的是,除了劇本之外,《神探白朗:福比利大宅謀殺案》的演繹手法都非常別開生面,為沉重的案件帶來無窮的娛樂性與幽默元素,如家庭成員爭產時笑料不斷,白朗帶有非常惹人發笑的口音,說話有時又非常無厘頭(「冬甩中有個冬甩」,令我現在無當看到冬甩時都依然會回心微笑)。認真扎實的劇本,加上幽默的表達方法、超強演員陣容,難怪叫好叫座,成了上年的票房黑馬。

第二位:《小丑》



DC不再一味追求《復仇者聯盟》般的大宇宙,而是選擇專心一意地發展獨立故事,這樣反而更能激發創意。這套《小丑》不同Christopher Nolan版本的歇斯底里,而是是一部精神病患者的心路歷程,是一部英雄版的《一念無明》,是有血有肉有淚的,大家可以從這電影中感受到精神病患者的痛苦,被社會歧視,得不到支援,求救無門的悲慘。

這又是一個寫實的社會故事,寫實得很可怕。電影中的葛咸城貧富懸殊、犯罪率高、環境差劣、當權者不理民意、充滿不公義。生活在這城市的人看不到一絲希望,觀眾完全可以感受那種令人窒息的絕望感,感覺到對這世界感到失望。再加上接二連三的事件不斷地摧毀主角的希望,經歷過這段痛苦壓抑的旅程後,大家都可以理解身處於那個環境,成為小丑才是解脫的唯一出路。

當然,Joaquin Phoenix交出的是驚為天人的,令人難以置信地精彩的超強演技表演。這是史丹福自Eddie Redmayne《霍金:愛的方程式》後最欣賞的一次演技演出。Eddie Redmayne做的霍金是即使全身不移動都可以可以單靠表情眼神演戲,而Joaquin Phoenix演的小丑是單是笑都可以笑出無窮的層次,有開懷大笑、被迫笑,痛苦地笑、瘋狂地笑、諷刺地笑、絕望地笑。單是笑都可以做到這麼多的變化,令人切心感受他內心的情感。奧斯卡最佳男主角,Joaquin Phoenix絕對是當之無愧。


第一位:《復仇者聯盟4:終局之戰》



最美好的事物都是需要用年月沉澱出來的。想當年被譽為神片的《我們都是這樣長大的》用了十年時間拍攝,記錄了一個小孩的成長。其實《終局之戰》又何嘗不是以十年時光沉澱而成的巨著?它記錄的不單是英雄們的成長,更是我們的成長。

作為系列的終章,電影用了很巧妙精細的方法把21套舊作串連起來,就算是一兩個小鏡頭,都足以令人泛起無限回憶。有別於《無限之戰》的以Thanos做主角去帶動故事,帶幕幕高潮的做法,今次明顯是以情懷為主線的,故事重新聚焦到初代復仇者成員上,他們的內心情感戲應是系列之冠。Ironman與女兒及爸爸、美國隊長與其初戀情人Peggy、雷神與媽媽、黑寡婦與鷹眼

故事的時間互相穿插,難得的是羅素兄弟把眾多的支線有條不紊,環環相扣。導技之高,令人拜服。

最後英雄盡出的場面堪稱史丹福看電影生涯中最熱血的一幕,除了熱血沸騰,更是感動不已,看得眼泛淚光。這一幕勢要成為電影史上最經典的鏡頭之一。而《終局之戰》的故局也是非常感人的。誰會想到英雄電影的結局竟然可以以如此催淚的形式作結?

總之這電影可以說是見證了一個時代的終結,而我們能夠生於這個有MCU的時代,絕對是非常幸福的。

2020年2月15日 星期六

史上最難的奧數題目


玩過奧數或者其他數學競賽的朋友大概都會聽過「傳奇的第6題」。這條題目出自1988年國際數學奧林匹克競賽(International Mathematical Olympiad,簡稱IMO)的第6題,是公認的其中一題史上最精彩的也是最困難的競賽題目。

題目如下:設正整數a, b滿足ab+1可以整除a2+b2,證明(a2+b2)/(ab+1)是某個整數的平方。

例如代入a = 1b = 1,我們得到 k = (12+12)/(1x1+1) = 1,顯然這是一個平方數。正如很多數論問題一樣,這題目很易理解,初中生都可以明白,但解答起上來卻出奇地困難。

究竟這題目有多困難呢?或者讓史丹福先簡介一下IMO的題目來源,好讓大家對這比賽有更多的認識。

IMO競賽是讓全世界不同國家的中學生參與的數學比賽,共有6題題目,比賽分兩天,每天做三題,總共時間為9小時。題目基本上都是證明類題目,每題值7分,共42分。試題大致上會分為簡單、中等與困難,第1與第4題屬簡單,第2與第5題屬中等,第3與第6題屬困難。題目由主辦國外的各參賽國提供,由主辦國組成擬題委員會,從提交題目中挑選候選題目。各國領隊在隊員前數天抵達,共同商議出問題及官方答案。

話說當年西德是奧數的超級強隊,曾經於198283年獲得總分第一。但之後幾年卻被蘇聯、羅馬尼亞及美國超越了,搶奪了其第一的寶座。有人認為也許是出於復仇心態,西德數學家就出了這道精心設計,極盡困難的題目。澳洲的數學奧林匹克議題委員會的六個成員都未能解到這題由西德數學家提供的問題。於是他們只好向主辦國澳洲的4位最好數論專家求肋,委員會希望專家能於6小時內解決問題,令人尷尬的是,專家經過一淪苦戰都未能解出題目。於是,議題委員竟然夠勇氣把問題寄往國際數學奧林匹克委員會,不過他們特意在問題旁加上兩顆星,代表超難題目,也許難到不應用作競賽題目。委員會作了長時間的考慮後,又竟然真的斗膽敢採用此題,結果這題目就成了第29屆國際數學奧林匹克競賽的第6題。

委員會有人覺得這可能會成為破紀錄的沒有選手解到的國際奧數問題。然而事實上卻並不是那麼悲觀,雖然268名選手的平均得分只有0.6分,為IMO舉辦29年以來最低的一題,但這題難倒4位數論專家的題目卻竟被11位中學生以7分滿分成績解答到。

陶哲軒被譽為當今世上最出色的年輕數學家之一。他自小已是數學天才,於10歲、11歲及12歲參加了三次國際數學奧林匹克競賽,分別得了銅獎、銀獎與金獎,是銅獎、銀獎與金獎的最年輕得獎紀錄保持者。他於16歲得到學士學位、21歲得到普林斯大學博士學位,並在24歲成了加州大學洛杉磯分校(University of California, Los Angeles,簡稱UCLA)數學系的終身教授,是該校史上最年輕的終身教授。他於31歲獲得菲爾茲獎。菲爾茲獎是數學界最高的榮譽,由於諾貝爾獎不設數學獎,所以菲爾茲獎基本上就是等同於數學屆的諾貝爾獎。

為何我突然花這麼多的時間介紹陶哲軒呢?因為他參與了1988年的國際數學奧林匹克競賽獲得金獎,他於頭5題都全取7分,最後的第6題卻只有1分。這條超級難題連當今世上其中一位最出色的數學家都破解不了,令題目更添傳奇色彩。

當年12歲的陶哲軒獲得1988年國際數學奧林匹克競賽金獎(來源:國際數學奧林匹克競賽網站)

 有一位參賽者保加利亞選手Emanouil Atanassov卻得到了該題的特別獎。特別獎的得獎者必須要用一個非常漂亮、精彩獨到的方法解題,答案比標準答案更精彩,常也更簡潔,才有機會得獎,可以說是比得到滿分更困難。而他用到的方法叫「韋達跳躍」(Vieta jumping)。史丹福找不到文獻記載在這題奧數問題出現以前有沒有人用過此方法解數學題,不過可以肯定的是,這方法在該屆IMO之後變聲名大噪,現今已是參加數學比賽者訓練時必定會學到的技巧。

「韋達跳躍」的概念其實都只是來自高中數學,沒有甚麼高深,只不過是利用了極盡巧妙的方法,把初等數學的威力發揮得淋漓盡致而已。

這技巧牽涉到兩個重要數學,一是韋達定理(Vieta’s theorem),一是無窮遞降法(method of infinite descent)。

韋達定理其實就是二次方程中根的和與積及項數的關係,設ax2+bx+c=0有根α與β,α+β = -b/aαβ=c/a。這應該是DSE高中數學第一課的內容,是廣為人知的(雖然課程沒有用到韋達定理這個很專業的名稱)。

至於無窮遞降法是一種反證法,用的是「沒有最小,只有更小」的概念。如果我們假設一方程式有一正整數解,那麼應該有一最小的解。然後我們再證明「如果有一解,必有另一個更少的解」,也就是說「沒有最小,只有更小」,這與方程式有最小解互相矛盾。唯一的可能性就是我們的假設出錯,方程式根本上沒有解。 這個方法最先由大數學家費馬使用,證明了x4+y4=z4沒有正整數解,也就是費馬大定理中n=4的情況。歐拉也用無窮遞降法證明過每個除4的餘數為1的質數都可以表達為兩個平方之和,值得一提的是這定理也是由費馬最先提出的,雖然他沒有提出證明。

言歸正傳,我們就試試用這方法解開傳奇的第6題吧!

ab+1可以整除a2+b2,所以(a2+b2)/(ab+1)是正整數。
設有正整數ab滿足(a2+b2)/(ab+1)=k,其中k不是平方數,我們將製造出一個矛盾去證明這是不可能的,所以k必為平方數。

在眾多組滿足條件的正整數ab中,必有一組的和是最小的,我們設它為a1b1。由於把a1b1互換,也不會影響(a12+ b12)/(a1b1+1)的值,所以我們不妨假設a1>= b1




根據(1)a2必為整數。
根據(2)a2不可能是0,因為k不是平方數,b12-k不可能是0
k是正整數,b1是正整數,(a22+ b12)/(a2b1+1) = k,顯然a2不可以是負數。
大家還記得我們假設過a1>= b1嗎?因此根據(2)a2必定少於a1。綜合來說,我們有一少於a1的正整數a2,令(a22+ b12)/(a2b1+1) = k,其中k不是平方數。ab1是滿足(a2+b2)/(ab+1)=k(其中k不是平方數)的一組解,但它們的和比a1b1小,「沒有最小,只有更小」。不過我們之前已經設了a1b1的和是眾多組解中最小的,這樣就產生矛盾了。因此如果正整數a, b滿足ab+1可以整除a2+b2 (a2+b2)/(ab+1)必定是平方數。「韋達跳躍」就是這樣簡潔地破解了這超級難題。

這題目令「韋達跳躍」聲名大噪,現在不少競賽數學的書籍,甚至是大學的教科書都會用這「傳奇的第6題」為例子,所以以現今的標準來看這題目不算太困難。如果現在的IMO再出一題有關「韋達跳躍」的數論題目,參加者們也大概會有不錯的成績。不過它在當年難到整個議題委員會、四位數論專家、數學天才陶哲軒及很多數學好手,稱這傳奇題目為史上最難的奧數題目絕不為過。