2016年12月31日 星期六

2017

又到 2017 年,祝大家新年快樂。

2017是一個很特別的數字,它可以被表示為兩個平方數之和, 92 + 442 。原來2016 2015 2014…,直到 2010 都不可以被表示為兩個平方數之和。再上一個有這個特性的數字已經是 2009

究竟有那些數字可被表示為兩個平方數之和,有那些不可以?(為了方便起見,我們在下文會把「可被表示為兩個平方數之和」稱為「可表示數」,反之就稱為「不可表示數」。這不是一個正式數學用語,只是史丹福自創的簡稱。)

我們可以參考下以下的原則:

原則一:兩個「可表示數」之積也是「可表示數」

因為設兩個「可表示數」分別為 a2 + b2  c2 + d2 ,那它們的積 ( a2 + b2 ) ( c2 + d2 ) = ( ac + bd ) 2 + ( ad - bc ) 2 ,顯然也是一個「可表示數」。

原則二:一個「可表示數」與一個平方數的積也是一個「可表示數」

因為設「可表示數」為 a2 + b2 ,平方數為k2;它們的積 k2 ( a2 + b2 ) = ( ka )2 + ( kb )2,顯然也是一個「可表示數」。

原則三:一個可表示為 4n + 1 的質數是一個「可表示數」(其中n是正整數)

這個原則的證明較為複雜,我們有空再談。

原則四:一個可表示為 4n + 3 的數一定不是一個「可表示數」(其中n是正整數)

因為平方數除4的餘數一定是01,兩個平方數的和除4的餘數必然是012,而不可能是3。換句話說,可表示為 4n + 3 的數都不可能是兩個平方數之和。

總結以上四個原則,我們可以得出:如果一個數的質因數分解式中不包含可表示為4n + 3的質數的奇數次方,它就是一個「可表示數」,反之就是「不可表示數」

「噏乜啊?」小弟都知道你們不可能看得明白上面的外星語,所以我們還是看一下幾個實際例子吧:

2017 是一個質數,而且可表示為 4 x 504 + 1 ,所以是一個「可表示數」。

2016 = 25 x 32 x 7 2 當然是「可表示數」( 2 = 12 + 12);3是一個可表示為 4 x 0 + 3 的質數,所以是「不可表示數」,但它有偶數次方2,所以不影響 2016 是否「可表示數」;7是可表示為 4 x 1 + 3 的質數,所以是「不可表示數」,且有奇數次方1,所以2016也因此是一個「不可表示數」。

2015 = 5 x 13 x 31 ,而 31 是可表示為 4 x 7 + 3 的質數,且有奇數次方1,所以2015 是一個「不可表示數」。

2014 = 2 x 19 x 53 19是可表示為 4 x 4 + 3 的質數,且有奇數次方1 ,所以 2014是一個「不可表示數」。

2013 = 3 x 11 x 61 11 是可表示為 4 x 2 + 3 的質數,且有奇數次方1 ,所以2013是一個「不可表示數」。

2012 2011 2010 也是個「不可表示數」,大家可以自己試證。

2009 = 72 x 41 7 是可表示為 4 x 1 + 3 的質數,但它有偶數次方2 41 是可表示為 4 x 1 + 1 的質數。終於,我們找到一個質因數分解式中不包含可表示為 4n + 3 的質數的奇數次方的數!也就是說, 2009 是一個「可表示數」!
2009 = 7
2 x 41 = 72 x ( 42 + 52 ) = ( 7 x 4 ) 2 + ( 7 x 5 ) 2 = 282 + 352

2008 2007 2006 也是個「不可表示數」。

2005 = 5 x 401 ,而 5 41 都是可表示為 4n + 1 的質數,而皆有奇數次方1,所以 2005 是「可表示數」。
2005 = 5 x 401 = ( 1
2 + 22 ) x ( 12 + 202 ) = ( 1 x 1 + 2 x 20 ) 2 + ( 1 x 20 – 2 x 1 ) 2 = 412 + 182

雖然 2009 2017 相隔了很遠,但 2017 後下一個可被表示為兩個平方數之和的數字卻近在咫尺,正是 2018 。因為 2018 = 2 x 1009 ,而 2 1009 都是「可表示數」(1009是一個質數,且可被表示為 4 x 257 + 1)。
2018 = 2 x 1009 = ( 1
2 + 12 ) x ( 152 + 282 ) = ( 1 x 15 + 1 x 28 ) 2 + ( 1 x 28 – 1 x 15 ) 2 = 432 + 132

2016年12月24日 星期六

熱狗數學題

聖誕佳節,最適合吃一頓豐富美味的聖誕大餐。小弟最近上網見到一題熱狗數學題,充滿美食,令人好不興奮。小弟忍不住跟大家分享,順祝大家聖誕快樂。

(From Mathematical Mathematics Memes)

首先,毫無疑問,枝裝啤酒是10,漢堡包是5,杯裝啤酒是2。所以我們的問題變成了







Sinx/x類型的積分該如何解呢?原本數學家已經證明了這個函數不可以用我們熟悉的elementary function(也就是多頂式函數、三角函數、指數及對數)做得到積分。

也許我們可以試試用級數解,例如Taylor series












但這個級數也幫不到我們處理涉及到無限的瑕積分(improper integral)。

我們需要一些更厲害的工具──複變分析(complex analysis)。






所以我們沿著下圖的方向再e^(iz)/z做一次線積分。



這條路徑是特意設計出來去避開z = 0的一點,因為e^(iz)/zz = 0上是不可解釋(non-analytical)的。避開了這點後,這函數便在路徑區域內全都可解釋(analytical)。根據大名鼎鼎的Cauchy’s integral theorem,這個積分是0






我們取R2àR1à0





























回到最初的數狗數學題: