2020年12月30日 星期三

X光片中的聖誕

 史丹福每年聖誕都會介紹一個與節日相關的題目,除了之前在《Twelve days of Christmas與聖誕襪定理》中介紹了一條有趣的聖誕數學題外,史丹福打算再介紹一下與聖誕相關的另一主題--與聖誕相關的診斷放射學特徵。

雖然這文章來得有點遲,不過史丹福與Peaches還是希望大家有個快樂的聖誕,並且有一個美好的2021年。香港人加油。

雖然香港的聖誕不會下雪,不過一提起聖誕,大家難免會想起浪漫的飄雪。

診斷放射學中亦有所謂的「雪人徵」(snowman sign),它是腦下垂體巨腺瘤(pituiary macroadenoma)在做影檢查中的特徵。因為這腫瘤較軟,容易被一個名叫蝶鞍膈(diaphragma sella)的組織所擠壓,形成一個8字形的模樣,就仿似一個雪人一樣。這個特徵可以幫助我們分辨腦下垂體巨腺瘤與其他腫瘤,如腦膜瘤(menigioma)。


「雪人徵」(來源:Radiopaedia)



另一個與雪有關的X光片特徵是「雪冠徵」(snowcap sign),它會在缺血性壞死(avascular necrosis),俗稱「骨枯」的骨骼中出現。肱骨(humerus)或股骨(femur)的頭壞死了,在X光片下就會呈現成白色的不透光的樣子,就像是山頂的積雪一樣。



「雪冠徵」(來源:Radiopaedia)

提起聖誕,當然不得不提聖誕樹。大家覺得下面X光片的圖案像聖誕樹嗎?


「聖誕樹徵」(來源:Radiopaedia)


在診斷放射學中,這個現象被稱為「聖誕樹徵」,它是神經性膀胱(neurogenic bladder)的特徵。神經性膀胱大多由脊髓受損引起,脊髓神經的問題令病人無法正常排尿,於是尿液滯留在膀胱內。尿液滯留令膀胱伸長,膀胱壁變厚,在X光片中就會呈現出聖誕樹般的模樣。

西方人習慣在聖誕節以冬青葉做花圈作裝飾,而診斷放射學中亦有所謂的「冬青葉徵」(holly leaf sign),它是胸膜斑(pleural plaques),即纖維化及變厚了的胸膜的特徵,常於石棉沉着病(asbestosis)的患者中出現。胸膜斑有結核狀nodular的不規則邊界,就如冬青葉一樣,因而得名。


「冬青葉徵」(來源:Radiopaedia)


大家又覺得以上幾個X光中的現象有沒有聖誕氣氛呢

 

資料來源

  1. https://radiopaedia.org/
  2. Wiles, R. J., Gulati, A., Dwivedi, R., Avula, S., Curtis, J., & Abernethy, L. (2013). We wish you a merry x-ray-mas: Christmas signs in radiology. Bmj, 347(Dec17 4).

2020年12月24日 星期四

Twelve days of Christmas與聖誕襪定理

又到聖誕,今年的聖誕份外冷清,不過偶爾聽到聖誕歌聲在風中飄蕩,依然可以令人感到節日的溫暖。

 

相信大家都聽過著名的聖誕歌《Twelve days of Christmas》。歌詞講述主角的至愛在聖誕的第一天送了他1隻梨樹上的野雞;第二天送了他1隻梨樹上的野雞再加2隻斑鳩;第二天送了他1隻梨樹上的野雞加2隻斑鳩再加3隻法國母雞,如此類推。聖誕的第n天就送他1 + 2 + 3 + ... + n份聖誕節禮物,直到第12天。 12天,他得到了1隻梨樹上的野雞、2隻斑鳩、3隻法國母雞、4隻鳴唱的鳥兒、5隻金戒指、6隻鵝蛋、7隻游泳的天鵝、8位擠奶的女傭、9位跳舞女士、10位歡呼跳躍的天神、11位吹笛的風笛手、12位擊鼓的擊鼓手。

 

這聖誕歌其實也可以引伸出一個有趣的數學問題,就是主角在這12天內共收到多少份禮物呢?

 

這是一題簡單的數列問題,大家用算術數列和及平方和的公式可輕易求得:




不過,just because it’s Christmas,我們不妨試一個更有聖經氣氛的數學方法。 史丹福曾在上年的聖誕介紹過有關柏斯卡三角(Pascal triangle),的「聖誕襪定理」(Christmas stocking theorem),這定理又被稱為「曲棍球棒定理」hockey stick theorem。該定理指出

 




另外,我們也可以利用二項式項數(binomial coefficients)中nCr = nCn-r的特性把公式寫成

 




這些數字在柏斯卡三角中就如一對聖誕襪。

 


以上圖為例,數列的形象顯示了:
1 + 4 + 10 = 15
1 + 8 + 36 + 120 + 330 = 495
1 + 7 = 8

形象就像是聖誕襪一樣。

大家留意到,在柏斯卡三角中,第n + 1行的第3個數,其實就代表nC2,即n (n - 1) / 2 = (n - 1)[(n - 1) + 1] / 2,也就是第n – 1 天收到的禮物數量。因此主角共收到的禮物數量是:

 



「聖誕襪」的形狀就是這樣:


 

也就是說,主角如果在聖誕收到禮物後如果每天拆一份禮物,364天就剛好拆完,然後又可以迎接下一個聖誕。