2019年9月29日 星期日

貨幣上的科學家與數學家


除了國旗之外,史丹福覺得另一個可以反映國家文化質素的指標就是它的貨幣。任何國家都會理所當然地把自己最引以為傲的事物印在紙幣上。某個鄰近香港的國家把史上殺人最多的獨裁者印在自己的貨幣上(希特拉殺了1700萬人,史太林殺了2300萬人,那個鄰國最愛的獨裁者卻殺了7800萬人),可見這個國家所擁戴的價值是多麼的低等。不過,其他大部分的國家都會選擇把值得人尊敬的偉人印在貨幣上,其中有不少是數學家或科學家。這體現了一個國家或民族對科學的極大尊重。

英國在7月宣布將推出新的50英鎊鈔票,上面將會印上被譽為「電腦科學之父」的數學家圖靈(Alan Turing)。 1936年,還是24歲的圖靈發表了經典論文《論可計算數及其在判定問題上的應用》,提出的著名「圖靈機」,利用機器來模擬人們用紙筆進行數學運算的過程,這成為了電腦科學及計算理論的數學基礎。

即將發行的新50英鎊鈔票上印有圖靈的肖像(來源:Bank of England)


圖靈除了對數學及電腦科學的巨人外,又是位戰爭英雄。他最為人所知的事蹟是在二次大戰時利用數學與計算機技術發明了解密機去破解德軍的Enigma密碼,徹底扭轉了戰爭的局面。圖靈在戰後卻因為同性戀而被英國政府控告,及強迫他接受女性賀爾蒙注射,最後他在1954年因吃了浸過氰化物的蘋果而死。很多人相信他是自殺,也有人認為他的死是意外,這到現在仍是個謎團。2013年,英女王伊利沙伯二世終於赦免了他的定罪。現在英國更把他的肖像印在新鈔票上,也可算是一個遲來的平反。圖靈的一生非常具戲劇性,他的故事也曾被改篇成電影《解碼遊戲》,後來電影更獲得了奧斯卡金像獎最佳改篇劇本獎。電影非常精彩,劇力萬鈞、高潮迭起,史丹福非常推薦大家看看。

現在流通的日本1000円鈔票上印有野口英世的肖像(來源:Wikipedia)


日本是港人最愛的旅遊地區之一,大家都應該見這張1000円的日本紙幣,但大家又知不知道上面的肖像是誰?他是日本的著名細菌學家野口英世,他成功地從患有梅毒性腦病的病患腦組織中分離、培養出梅毒螺旋體(Treponema pallidum),證實這是發病的根源,更因而被多次提名諾貝爾獎,奈何他始終沒有機會正式得獎。為了紀念他的貢獻,日本現在的1000円紙幣就印有他的肖像。不過野口英世的研究也有不少不準確的地方,例如他堅信黃熱病的致病體是螺旋菌,現在我們卻知道是由病毒引起的。

即將發行的新日本1000円鈔票上印有北里柴三郎的肖像(來源:Wikipedia)

今年4月日本財務省又宣布會在 2024 年發行全新紙幣,其中1000円紙幣上的人物肖像會改成野口英世的師父北野柴三郎。現代細菌學有兩大始組,一位是法國的巴斯德(Louis Pasteur),另一位是德國的科赫(Robert Koch)。北野柴三郎師承科赫,作為現代細菌學始組的弟子,他的成就當然也相當高。北里柴三郞在跟隨科赫學習的期間發現及培養出破傷風梭菌,並發明了破傷風抗毒素。之後他又聯同貝林(Emil von Behring)發明了白喉抗毒素。貝林因此獲得了第一屆諾貝爾生理學或醫學獎,但奈何諾貝爾委員會卻遺留了同樣獲提名的北里柴三郎,也許是因為當年的歐洲人普遍看不起亞洲人,覺得第一屆諾貝爾獎這樣大的一個榮耀不應該給予亞洲人。 之後北里柴三郞回到日本後設立了研究所,培育微生物學的研究人員。

因發現伊維菌素(ivermectin)而獲得2015年諾貝爾生理學或醫學獎得主大野智就是來自以北野柴三郎命名的北里大學。不少日本人都認為這是代北里柴三郎達成了他的悲願。

紐西蘭雖然不是傳統的科學強國,但其100元鈔票上卻所有大名鼎鼎的「原子核物理學之父」盧瑟福(Ernest Rutherford)的肖像。盧瑟福是紐西蘭人,之後到了英國劍橋大學的卡文迪許實驗室做研究。盧瑟福因發現αβ射線,並證實放射性涉及從一個元素到另一個元素的遷變而獲得1908年的諾貝爾化學獎。但值得一提的是盧瑟福其實對獲獎不太高興,因為他自認是一位物理學家而不是化學家,他覺得自己應該得的是物理學獎而不是化學獎。

紐西蘭100元鈔票上印有盧瑟福的肖像(來源:Wikipedia)

不過對大眾來說,盧瑟福最著名的成就應該是它利用α粒子照射薄金箔紙的實驗,這是個高中物理學課程都有教授的著名實驗。它發現出實驗中的α粒子可以被大角度散射,他非常驚訝,形容為「如同你用15吋巨砲朝著一張衛生紙射擊,而炮彈卻被反彈回來而打到你自己一般地難以置信」。最後他提出「盧瑟福原子模型」,指出原子是由帶正電的原子核與帶負電的電子組成,原子核的佔了整個原子大部份的質量,而電子圍繞著原子核旋轉。

瑞士的1976年推出的第6系列10瑞士法郎舊鈔票中就印有數學家歐拉Leonhard Euler的肖像。歐拉毫無疑問是史上最偉大的數學家之一,歐拉非常多產,研究的範圍覆蓋了代數、幾何、數論、微積分、圖論和拓撲學,甚至是物理數學上都有不少突破性的研究,可以說是支配了18世紀至現在的數學。 史丹福就曾經寫文章介紹過他其中一個發現──歐拉線(《DSE試題中的「歐拉線」》及《再談DSE試題中的「歐拉線」》)。。歐拉28歲時右眼失明,59歲後左眼也慢慢失去視力。但在他失明的19年間,他依然以驚人的毅力與非凡的才智去從事數學研究,完成400多篇數學論文。他的一生共完成860多篇論文,後人為他出版的作品集紀錄他的數學研究,竟然足足出了72集。

瑞士舊10法朗鈔票上印有歐拉的肖像(來源:Wikipedia)



熟悉數學的朋友在讀到歐拉定理/方程/公式時都總會有些微妙的感覺,因為以歐拉命名的定理/方程/公式實在太多了,有時候實在需要思考一下才意會到所指的是那一個定理/方程/公式。為了避免有太多數學發現都以歐拉命名,有些數學發現干脆以歐拉之後第一個證明的人來命名好了。

瑞士200法朗鈔票上印有大型強子對撞機紀錄到的粒子碰撞信號(來源:Wikipedia)


瑞士現在使用的紙幣已經再沒有印上人像了,所以自然也沒有再沒有歐拉的肖像了。不過現在流通的200瑞士法朗的貨幣卻印上了瑞士日內瓦近郊歐洲核子研究組織CERN大型強子對撞機(Large Hadron Collider)紀錄到的粒子碰撞信號。大型強子對撞機就是發現俗稱「上帝粒子」的希格斯玻色子(Higgs Boson)的粒子加速器。可見瑞士人始終以自己對數理科學的貢獻而驕傲。

自從歐洲各國於1999年正式推行歐元之後,各個歐洲國家都沒有再使用自己印刷的貨幣了。但其實在此之前,很多歐洲國家的紙幣上都印上了名震天下的科學家或數學家。

1989年德國推出的貨幣系列中印有兩位大名鼎鼎的數理巨星。10馬克鈔票上的有「數學王子」之稱的數學家高斯(Carl Friedrich Gauss),而200馬克貨幣上的則是研究免疫學及血液學的偉大科學家埃爾利希(Paul Erlich)。

高斯自幼已是一位數學天才,在9歲的時候已經以巧妙的方法計算到小學老師給他的數學難題1 + 2 + 3 + … + 10019歲的高斯證明了可以用尺規作圖作出正十七邊形,同時發現了可作圖多邊形的條件。他的研究遍及代數、數論、幾何、微積分、天文學及統計學。他是繼歐拉之後又一位非常多產的數學家。德國10馬克鈔票上就印有他的肖像與他的其中一個重要發現──歐拉積分。這個發現對處理統計學中的正態分佈非常重要,史丹福都曾經在《《天賦的禮物》中的數學題》中介紹過這個數學發現。

德國舊10馬克鈔票上印有高斯的肖像(來源:Wikipedia)

埃爾利希則是免疫學及血液學的重量級人物,可能說,沒有埃爾利希就沒有現代血液學。血液中的細胞除了紅血球外,大多都本來是無色的。大家見到史丹福跟大家分享的血液抹片都是色彩繽紛的,這是因為它們經過了染色的處理。而把染色法帶到了血液學中的就是埃爾利希。他又準備地描述了幾種白血球的特性,並且為他們命名。他使用的命名方式相當準確,在經過稍稍改量之後就一直沿用至今。他的另一個重要血液學發現就是發現肥大細胞(mast cells)。他在1908年因以「側鏈理論」來解釋抗體與免疫力關係而獲得諾貝爾生物學或醫學獎。之後他又研發出世上第一種有效對付梅毒螺旋體的藥物Salvarsan

德國舊200馬克鈔票上印有埃爾利希的肖像(來源:Wikipedia)


總之,世上有很多國家都把令人尊重的科學家或數學家肖像印在貨幣上,史丹福未能一一為大家介紹了,我只能選擇其中的幾位。這些國家都展現了對科學的極大尊重,它們重視科學,並因自己的科學成就而驕傲。相較起來,那個把史上殺人最多的獨裁者印在自己貨幣上的國家,真是全無文化,一個國家竟然以這個「成就」而驕傲,完完全全反映了它的素養之低。

2019年9月21日 星期六

那個令人心動的時代 ── 分子生物學3

史丹福翻閱自己的舊文章時,發現自己在三年前寫過的《那個令人心動的時代──分子生物學》系列,當時的計劃是寫一個系列的文章,簡單介紹二十世紀四、五十年代分子生物學興起的故事。當年也許是因為反應不太理想,不知怎的就沒有繼續寫下去了。不過我翻閱自己造篇舊文章時,覺得這個故事實在很有趣,心血來潮下又很想繼續寫下去。

傳送門

之前提及,上世紀有兩個科學史上最令人心動的年代,它們分別是二、三十年代的量子力學發展期,及四、五十年代的分子生物學發展期。二十世紀初期,科學界中最聰明的頭腦都被量子力學這個花花宇宙所吸引,但量子力學之父薛丁格寫了一本名為《生命是甚麼?》的書,讓新一代的科學家知道原來生命還有很多秘密還未被揭曉。生物歸根究底都是由物理法則所控制的。一班受過高等物理學訓練的科學家意識到自己的物理學知識原來可以用來破解生命的秘密,於是他們中有不少轉投到生物學的懷抱,例如上次介紹過的克拉克,他們令到四、五十年代分子生物學研究如雨後春筍,風頭一時無兩。

分子生物學有所謂的「中央法則」(central dogma),指出遺傳信息又DNA傳到RNA再傳到蛋白質,所以DNARNA與蛋白質可以說是分子生物學的三大支柱,我們之前已經簡單地介紹過DNARNA的研究之旅,今次倒不如介紹一下第三條支柱──蛋白質的故事。

蛋白質可以說是最直接地影響生物運作的分子。DNARNA是幕後的控制者,它們躲於背後指揮蛋白質的合成。因此要徹底了解生物運作的機制,除了要研究DNARNA外,當然也不可以忽略蛋白質這個走在最前線的先鋒。

在那個令人心動的年代,最早獲得分子生物學界重視的蛋白質是血紅蛋白haemoglobin)與肌紅蛋白(myoglobin)。這兩種蛋白質對生物來說固然重要,但重要的蛋白多如恆河沙數,為何偏偏是這兩種蛋白質最獲重視呢?這當中牽涉到一個技術上的問題,讓史丹福在這裡先賣個關子,之後再詳談。

首種分子遺傳疾病的發現之旅

之前出現過的天才明星級的化學家鮑林(Linus Pauling)又將再次出場,此人是化學鏈研究的先驅,他是諾貝爾獎史上唯一一位同時獲得化學獎與和平獎的科學家,更差點搶先華生及克拉克一步發現DNA結構,雖然最後因犯了一個低等的化學錯誤而功敗垂成,與發現DNA結構的機會擦身而過,否則他可能會是史無前例,史上最強,同時獲得三次諾貝爾獎之人。

鮑林對分子生物學很有興趣,之前提及過他是首位提出蛋白質中的α螺旋結構的人。但原來他的成就遠不止於此,他更是發現首種分子遺傳疾病的人。

醫學界早於1910年已經描述了一個奇怪的血液疾病,這個疾病在非洲人中特別常見,患者的血液中出現鐮刀狀的紅血球,病人除了有溶血性貧血外,也不時會有骨骼及胸部疼痛,甚至有中風、視網膜病變、關節缺血性壞死(avascular necrosis)、腎病變、陰莖異常勃起(priapism)等併發症,影響之大遍佈全身。不過這個疾病在當時仍然是個迷,沒有人知道它的真正成因。因為血液中的鐮刀狀紅血球,這個病被稱為鐮刀型細胞貧血症(sickle cell anaemia)。

鮑林相信鐮刀型細胞貧血症是由異常的的紅血蛋白引起,他把這個課題交給了學生伊塔諾(Harvey A. Itano),嘗試找出異常紅血蛋白的特性。伊塔諾嘗試過量度質量、大小、酸鹼特性等方法,都沒有找到與正常血紅蛋白的異常之處。不過伊塔諾倒是有幾個有趣的發現。一,氧氣可以抑制患者紅血球變成鐮刀狀,而還原性物質則可以加速這過程。二,鐮刀型細胞貧血症患者的血紅蛋白中的球蛋白部分與正常紅血球的電荷稍有不同。

藉著這個發現,鮑林引領學生利用電泳(electrophoresis)的方法去分析血紅蛋白。電泳是種非常有用的化學分析方法,其原理是為混合物通上電流,如果混合物中含有不同電荷的物質,它們會在電埸中以不同的速度移動。而鐮刀型細胞貧血症血紅蛋白與正常血紅蛋白在電游下的移動特性並不同。利用電泳,他們終於發現了鐮刀型細胞貧血症血紅蛋白的異常之處──它比正常血紅蛋白多了三個正電荷。

鮑林、伊塔諾與另外兩位學生共同寫了一篇劃時代的科學論文──鐮刀型細胞貧血症,一個分子疾病Sickle Cell Anaemia, a Molecular disease),報告了他們的發現。這篇論文在1949年於科學期刊上刊登,鮑林團隊提出鐮刀型細胞貧血症血紅蛋白在電泳中發現的特性可能是由於它與正常血紅蛋白擁有不同的可電離氨基酸,這也是令到紅血球會變成鐮刀狀的原因。這是「分子疾病」一詞的首次出現,自此之後,分子生物學正式走進了醫學的殿堂。同時,這也是鮑林把物理化學方法帶進生物學的一大勝利。

鮑林及伊塔諾等人提出鐮刀型細胞貧血症血紅蛋白與正常血紅蛋白擁有不同的氨基酸,因而引起疾病,但這是那一個氨基酸的改變呢?鮑林沒有解答到這個問題。最後破解到謎題的是來自卡文迪許實驗室的英格拉姆(Vernon Ingram)。

卡文迪許實驗室是一個物理學實驗室,而且是實驗室中的明星,成立至今共有29人獲得諾貝爾獎。他的首任主管是建立了現代電磁學的馬克斯威(James Clerk Maxwell),在物理學中,他的地位高得大概可以與牛頓與愛因斯坦相提並論。之後幾任主管分別是發現氬氣及瑞利散射的瑞利(John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh)、發現電子的湯姆森(Joseph John Thomson)及發現原子中心是原子核的「原子核物理學之父」盧瑟福(Ernest Rutherford),他們三人都是諾貝爾獎的得獎者。可想而知,這個實驗室在學術界中的地位有多高。

但卡文迪許實驗室始終是一個物理學的實驗室,為甚麼之後會成為了分子生物學的聖地呢?這就要從它的第五任主管布拉格(William Lawrence Bragg)說起。不用說,他當然也是位諾貝爾獎得獎者,而且他在25歲的時候已經因X射線繞射術(X-ray diffraction)與父親一起獲得諾貝爾物理學獎。直至現在,他仍然是史上最年輕獲得諾貝爾科學獎的科學家。古語有云:「小時了了,大未必佳」,這句說話卻不適用在布拉格身上,因為他在當上了實驗室主管後又邁向了另一個學術上的高峰,他帶領了實驗室用他研發的X射線繞射術研究生物分子的結構,令實驗室成了分子生物學誕生初期的重地。

當時坐陣的科學家包括了發現DNA結構的「科學界最佳CP」華生與克拉克、分別破解紅血蛋白與肌紅蛋白三維結構的佩魯茨(Max Perutz)與肯德魯(John Cowdery Kendrew)、發現mRNA的布瑞納(Sydney Brenner)及破解胰島素的氨基酸序列,之後再發明DNA定序方法的桑格(Fredrick Sanger)。以上提及的6個人共處一實驗室,這個組合之強是百年難得一見的,就如神一般的存在,事關他們6人就共獲得了7個諾貝爾獎!桑格是史上唯一一位兩度獲得諾貝爾化學獎的人。布瑞納並未因RNA的研究而獲獎,不過之後因研究線蟲的神經網絡發育機制而獲得諾貝爾生理學或醫學獎。

話題扯遠了,讓我們回到英格拉姆的發現。英格拉姆剛到卡文迪許實驗室時,佩魯茨請他幫助為紅血蛋白加上一個重原子好讓他可以利用X射線繞射術的方法測出紅血蛋白的三維結構。英格拉姆很快便完成這個任務,於是它便有很多空閒的時間去探索自己有興趣的科學問題。桑格剛破解了胰島素的氨基酸序列,佩魯茨又建議他不妨試試利用桑格的方法去找出鐮刀型細胞貧血症血紅蛋白的氨基酸的不同。紅血蛋白比胰島素大得多,英格拉姆的做法是利用胰蛋白酶(trypsin)去分解特定的肽鍵,把紅血蛋白分解成不同的較短的肽片段,然後用色譜法或電泳的方法去找出鐮刀型細胞貧血症血紅蛋白與正常血紅蛋白的肽片段的不同。在眾多的肽片段中,英格拉姆發現只有一個片段與正常血紅蛋白有所不同,意味著鐮刀型細胞貧血症應該只由一個氨基酸的改善而引發。經過進一步的分析,他發現異常紅血蛋白β鏈的第6個胺基酸由麩氨酸(glutamic acid)變成纈胺酸(valine),謎底終於被解開了,原來一個如此嚴重的疾病只不過由一個胺基酸的改變而形成!

球蛋白雙星

1962年,華生、克拉克及威爾金斯(Marice Wilkins)因發現DNA的分子結構而獲得諾貝爾生物學或醫學獎。然而,較為少人知道的是,在同一天在瑞典斯德哥爾摩市政廳中從瑞典國王手上接到諾貝爾獎牌的,還有華生與克拉克的同事,花了畢生精力研究血紅蛋白的佩魯茨與研究肌紅蛋白的肯德魯,他們獲得的是諾貝爾化學獎。

佩魯茨先在維也納大學攻讀化學,其後在1936轉到英國劍橋大學的卡文迪許實驗室(Cavendish Laboratory)攻讀博士。在他剛進卡文迪許實驗室的時候,科學界已經知道蛋白質是生物運作的重要物質,卻沒有人知道它們的結構。佩魯茨決心用X射線繞射術這種物理學的技術破解蛋白質的結構。X射線繞射術只能夠測量結晶,而血紅蛋白是當時小數可以做到結晶的蛋白質之一。回到文初的問題,為何最早獲得分子生物學界重視的蛋白質是血紅蛋白最早獲得分子生物學界的重視呢?其中一個原因就是蛋白能否被結晶化本身就是利用X射線繞射術的技術限制。佩魯茨在學習這技術的時候,因緣際會下獲得了馬的血紅蛋白結晶。就這樣,他遇上了令他「魂牽夢繞,情繞一生」的蛋白質。那時他可不知道,他這個研究一做就做了22年。

讓我們先了解一下佩魯茨使用的X射線繞射技術。X射線是一種波,就如所有波一樣,都有繞射(diffraction)的性質,在傳播過程中經過障礙物邊時會偏離原本的傳播路線,擴展開去。這就好像我們即使隔著牆說話,牆對面的人都一樣可以聽到,因為聲波從牆的邊緣中發生繞射。同樣地,波穿過晶體中原子規則排列成的晶胞時,一樣可以出現繞射。但原子很小,大部分波的波長都比它長得多,令繞射不明顯。X射線的波長與原子大小接近,所以繞射很顯著。只要把X射線穿過血紅蛋白結晶,再觀察繞射圖案,佩魯茨就可以得知血紅蛋白中原子的相對位置。佩魯茨的目標是把弄清每個原子的精確位置,得出它的三維結構。說易行難,血红蛋白分子大約有12,000個原子,而且當年並沒有先進的電腦幫手,佩魯茨的計算工作只能依靠人手及原始的計算工具。佩魯茨發明了考妙的同晶置換法(isomorphous replacement),把汞原子(mercury)這種重原子加到紅血蛋白分子中,去解決測量時遇到的「相位問題」(phase problem)。佩魯茨把22年的時間貢獻了給同一個科學問題,這種堅毅不屈簡直可以稱得上是現代的愚公移山。

佩魯茨與他的紅血蛋白結構模型(來源:Life Sciences Foundation)

佩魯茨開始了自己研究的十年後,肯德魯又加入了研究。佩魯茨把較為簡單的肌紅蛋白分子交給肯德魯探索,肌紅蛋白的大小只有紅血蛋白的四分之一,應該是更為容易的。肯德魯利用X射線繞射技術在1957年破解了肌紅蛋白分子的三維結構。

佩魯茨與肯德魯一起觀看他們的蛋白結構模型(來源:Medical Research Council)

佩魯茨在三年後描述了紅血蛋白在5.5 Å解析度中的三維結構,令人驚訝的是,血紅蛋白與肌紅蛋白的結構出奇的相似,只不過血紅蛋白的大小是肌紅蛋白的四倍,彷彿就是四個肌紅蛋白組合而成。佩魯茨研究的是馬血紅蛋白,肯德魯研究的是鯨魚肌紅蛋白,所以它們的相似就顯得更神奇了,這似乎說明了這兩種蛋白質在生物演化的過程中有相同的來源。但佩魯茨的工作並未因而完結,他又繼續研究高解析度的氧合血红蛋白(oxyhaemoglobin)及脫氧血红蛋白(deoxyhaemoglobin)的三維結構。

簡單來說,紅血蛋白分子由四個亞基(subunit)組成,每個亞基都包含了一個血基質與一個球蛋白肽鏈。貯藏氧分子的地方是血基質中央有一個鐵離子,氧分子便是與此鐵離子結合。佩魯茨發現的結構可以用來解釋很多生理學與醫學上的問題,例如為何一個簡單的胺基酸改變就可以做成嚴重的鐮刀型細胞貧血症,又或者為何紅血蛋白懂得改變自己與氧結合的能力,在氧氣充足的環境中緊緊地捉實氧氣,並在氧氣缺少的環境下把氧氣盡量釋放出來。

1962年諾貝爾獎得獎者的合照,由左至右分別是威爾金斯、文學獎得獎者史坦貝克、肯德魯、佩魯茨、克拉克與華生(來源:The British Library)

佩魯茨是分子生物學誕生初期的領軍人物之一,他把一生都獻給了同一個科學問題,他的毅力可以說是科學界的典範。華生及克拉克發現DNA分子結構或多或少都有點幸運成分,因為DNA分子比較簡單,對稱性很強,但對生物運作至關重要,在學術研究的角度來說「性價比」很高。但佩魯茨破解了一個複製得多的蛋白質結構,他的成功絕對是天賦與勤奮互動出來的結果。1962年,華生、克拉克、佩魯茨與肯德魯都獲得了諾貝爾獎,這是卡文迪許實驗室輝煌的時刻,也是分子生物學掘起的最佳肯定。


資料來源:

1.      Davis, T. H. (2004). Biography of Vernon M. Ingram. Proceedings of the National Academy of Sciences101(40), 14323–14325.

2.      Weatherall, D. J. (2001). Towards molecular medicine; reminiscences of the haemoglobin field, 1960-2000. British Journal of Haematology115(4), 729–738.

3.      Williams, P. (2005). Max Perutz, a Nobel Prize Winner, and Alain Marengo-Rowe. Baylor University Medical Center Proceedings18(2), 138–140.

2019年9月10日 星期二

國旗上的天文學

星星是國旗上常見的圖案,香港某鄰近的強國國旗都有使用星星圖案,但它的最大一顆星星代表黨,一黨專政本是專制落後的表現,這個國家卻毫無羞愧,大模斯樣地把它放在國旗上,非常沒有內涵。然而世界上有不少國家國旗上的星星圖案是非常有意思的,甚至很有天文學上的意義。

巴西國旗(來源:Wikipedia)

說起最具天文學氣息的國旗,一定非巴西國旗莫屬,因為它的國旗中可是有著一個真實的星空!18891115日,巴西最後一位皇帝佩德羅二世的退位,聯邦共和國正式成立。為了紀念這個歷史時刻,巴西人就把里約熱內盧在這天的真實星空放了在國旗正中的位置。而國旗上的每顆星就代表一個洲,最原始的版本只有21顆星,後來隨著洲的增加,國旗上星星的數量都逐漸增加,變成27顆星,分別代表著巴西的26個洲再加上首都。這是多麼有意義的設計啊!有豐富的天文內涵之餘有不失人文氣息,史丹福非常欣賞。

史丹福特意用Stellarium軟件模擬出當時里約熱內盧上空的星星,大家可以試下比較一下,試試找不找到國旗上對應的星星。





巴西國旗上的星星(來源:Wikipedia)

正如之前提及,國旗上的星星都「真有其星」,星座都是真實存在的,包括了大犬座、小犬座、天蠍座、長蛇座、南十字座、南三角座,還有鼎鼎大名的室女座角宿一、船底座老人星,及現在的南極星--南極座σ。國旗上的27顆星都屬於南天星座,有些星星是在香港較難看到的。

小犬座的南河二與大犬座的天狼星都是「冬季六邊形」的一部分,這兩個星座是非常明亮,而且就在鼎鼎大名的獵戶座附近,在香港冬天的夜空中也非常容易找到。

夜空中的大犬座,其中最亮的一顆就是天狼星(來源:amazingsky.com 拍攝者:Alan Dyer)

如果說冬天南天星空之王是獵戶座,那麼夏天的南天星空之王就必定是天蠍座。近幾日的天氣風和日麗,萬里無雲。大家只需要抬頭望向天空南邊,已經可以可以很容易地認到夏季星空中最矚目的天蠍座。

像J字形狀的天蠍座,中間最光的一顆星是心宿二 (來源:Reader's Digest

天蠍座像是一個J字的形狀,中間最光的一顆星是心宿二。它位於天蠍座心口的位置,而且顏色偏紅,所以被稱為「天蠍之心」。南半球看到的星空是與我們倒轉的,所以天蠍座在南半球看起來就是個倒轉的J字型。

南十字座是南半球國家的至愛,不少南半球國家都把它當成自己國家的象徵,我們之後會再作詳談。

室女座角宿一是春天星空的重要亮星,色澤藍白可人、明亮耀眼。它屬於「春季大弧線」的一部分。所謂的「春季大弧線」,是一個春天星空的標記,串連起幾顆重要的星星。沿著北斗七星「柄」的3顆星(玉衡、開陽及搖光)彎彎地伸延,首先會遇到牧夫座的大角,之後就到室女座的角宿一,最後到烏鴉座。這條線就是大名鼎鼎的「春季大弧線」。

至於南極座σ天球南極附近,因此被當成南極星,南天的星都會圍著它而轉,所以巴西國旗就以它來代表巴西的首都巴西利亞。就如中國的古天文學中也以當時的北極星小熊座β星來代表皇帝,叫做帝星。然而南極座σ這顆南極星真在太暗了,視星等只有5.4,正常情況下只用肉眼根本上難以看見。因此這顆南極星只是名義上的南極星,很難像北極星般真的用於實際的定位。一般觀星者都是使用把南十字星的十字中較長的一條對角線伸長四倍的方法來找尋南天極。

之前提過南十字座是南半球國家的至愛,很有文化意義。它是全天88個星座中最小的,卻是最有特色的。南十字座很容易辨認,由四粒明亮的星星組成十字的形狀,經常都高掛在南半球的星空中,即使沒有甚麼觀星經驗的朋友都可以輕易找到。雖然香港位於北半球,但其實偶爾還是有機會看到南十字座的。南十字座會在春天時出現在南方近地平線的位置,之後南十字座會越來越早下山,在六月之後就完全見不到了。

南十字座(來源:amazingsky.com 拍攝者:Alan Dyer)

除了巴西外,它也出現在澳洲、紐西蘭、巴布亞新幾內亞和薩摩亞等南半球國家的國旗上。

澳洲國旗(來源:Wikipedia)

紐西蘭國旗(來源:Wikipedia)

巴布亞新幾內亞國旗(來源:Wikipedia)

薩摩亞國旗(來源:Wikipedia)

除了在國旗上出現,不少南半球國家的省份或地區的旗幟都會見到南十字座的縱影,例如澳洲的維多利亞州、澳洲首都區、北方領地、智利的麥哲倫區、巴西的隆德里納和阿根廷的火地群島及聖克魯茲省等。

在我們剛剛介紹過的國旗中,所有的國家都是位於南半球的。據史丹福的認識,並沒有北半球的國家把真實的星星或者星座放在國旗中。如果史丹福遺留了,還請各位讀者朋友告知。

不過美國阿拉斯加洲的洲旗倒是加入了最能代表北極的星空圖案--北斗七星與北極星。北斗七星在西方的天文學中屬於大熊座的尾巴,而北極星則是小熊座尾巴最頂端的一粒星。北斗七星斗口的兩顆星天樞及天璇正正指著北極星。只要我們把天樞及天璇連成一線,然後延長5倍,就會找到北極星。

美國阿拉斯加洲洲旗(來源:Wikipedia)

葡萄牙的國旗雖然沒有星星,但卻甚有天文學上的意義。葡萄牙的國旗印有環形球儀--一種古代的重要天文工具,它以幫助測量星體,也可用作模擬天球,理解星星的運行。葡萄牙在1516世紀的時候依靠航海與天文學知識,稱霸海洋,建立多個殖民地,橫跨非洲、亞洲、美洲,可以說是歷史上首個世界性強國。葡萄牙船員常利用環形球儀去探索未知海域,因此這天文儀器也成了國家的象徵,代表著葡萄牙在航海時代時候的光榮。

葡萄牙國旗(來源:Wikipedia)

總括而言,一個國家的國旗代表了它的歷史內涵與文化修養,有不少的國家都選用了美麗而浪漫的星空去代表自己,在文化修養上是相當出色。至於那個用星星去表達黨的國家,真是相形見拙,庸俗不堪,不提也罷。


資料來源:
1.      Wikipedia
2.      台北天文館
3.      香港天文台

2019年9月5日 星期四

再談DSE試題中的歐拉線


之前跟大家介紹過一條有趣的DSE數學題目,利用了向量的方法間接地證明了一個三角形的外心(circumcentre)、形心(centroid)及垂心(orthocentre)必定位於同一條直線上。這條直線叫做歐拉線(Euler’s line)。歐拉線可以說是三角形上的「高速公路」,把幾個重要的點都連起來。史丹福覺得這題DSE題目是近年來最有創意及數學內涵的題目之一。

DSE試題用了向量方法,我們在上一篇文章DSE試卷上的「歐拉線」》又試過用傳統平面幾何方法證明歐拉線的性質。今次我們再試試用其他新奇的方法作證明,體驗數學中一題多解的樂趣。

重溫一下題目,這是HKDSE 2012 數學伸延部份單完二 微積分與代數第12題。



第一個新方法是連用位似(homothety)。位似這個名詞好像很高深,其實簡單來說就是放大縮小的意思。把一個圖形上的每一點都沿著一個中心進行放大縮小,令每一點都有一個對應點,而對應點與中心在同一直線上,而且對應點與中心的距離及原點與中心的距離成同一比例,就是位似。

只用文字表達看似很複雜,讓我們看一些實際例子,就會知道其實並不困難。

參考下圖,ΔABCO為中心做了一個位似變換,令到Oh(A) = k OAOh(B) = k OBOh(C) = k OC,其中k是常數,而且原點、中心與對應點成一直線,那麼ΔABC ~ Δh(A)h(B)h(C)



如果經位似變換,對應點在中心的對面,我們會把常數k設為負數, Oh(A) = k OAOh(B) = k OBOh(C) = k OC,而ΔABC ~ Δh(A)h(B)h(C)的關係依然存在。



位似變換之後得到的圖形會與原來的圖形相似,而且圖形間的關係都得以保存,例如三角形的各個「心」都會沿著一個中心進行放大縮小,對應點與中心的距離與原點與中心的距離一樣成同一比例。

ΔABC沿著形心G作一個-1/2倍的位似變換(記得,負的意思是對應點在中心的對面),那麼A會被變換到BC的中點D,因為根據形心的性質,GD = (- 1 / 2) GA。同樣地,B會被變換到CA的中點EC會被變換到AB的中點E


留意,ΔDEF的垂線就是ΔABC的垂直平分線,所以ΔDEF的垂心就是ΔABC的外心。所以這個位似變換會把ΔABC的垂心變換至ΔDEF的垂心,也就是ΔABC的外心。把ΔABC的垂心記作HΔABC的外心(ΔDEF的垂心)記作O。根據位似的性質,OGH成一直線,且GO = (- 1 / 2) OH。也就是說,三角形的外心、形心與垂心共線,且形心與垂心的距離是形心與外心的距離的兩倍!也就是DSE考試題目中的結論。

接下來我們會用一個更令人意想不到的方法去證明歐拉線這個性質--複數(complex number)。中學時候學複數,大部分學生都只知道複數是很抽象的數學,但甚少有意識到原來複數是解幾何問題的好工具。

我們先把三角形ΔABC的外心、形心與垂心分別記作OGH。然後引入Argand diagram,設O是代表0的點,外設圓的半徑為一單位。 習慣上,我們會用大階字母來表示點,用細階字母來表達相對應的複數。所以

o = 0
g = ( a + b + c ) / 3 (把複數當成向量思考就很容易明白了)

至於h是什麼呢?這可不如之前的兩點那麼顯而易見。讓我們先重溫一起重要的複數技巧。 直線ABCD形成的角度是Arg ( a – b ) - Arg ( c – d ) = Arg [ ( a – b ) / ( c – d ) ]。如果ABCD垂直,那麼Arg [ ( a – b ) / ( c – d ) ] = 90o。也就是說( a – b ) / ( c – d ) + [ ( a – b ) / ( c – d ) ] *= 0。(z*z的共軛conjugate,因為排版問題,史丹福用不到常用的頭頂一橫)

還有一個有趣的性質,我們設ΔABC的外設圓的半徑為一單位,所以ABC|z| = 1上,z (z*) = 1z* = 1 / z。也就是說a* = 1 / ab* = 1 / bc* = 1 / c

HΔABC的垂心,因此有:




好了,做了一大堆運算之後,我們終於得到美麗的結果

h – o = a + b + c
g – o = ( a + b + c ) / 3

OGH在同一直線上,且OH = 3 OG。三角形的外心、形心與垂心共線,且形心與垂心的距離是形心與外心的距離的兩倍!我們又再次得到這結果。

希望大家都能這題從由DSE引申出來的題目享受數學一題多解的樂趣。