2019年2月16日 星期六

黑板上排列組合,你捨得解開嗎?


電影《那些年,我們一起追的女孩》曾經在亞洲地區瘋靡一時。在電影中,男主角柯景騰與女主角沈佳宜因數學問題而建立起感情,柯景騰更因此而覺得努力讀書變成了一件很熱血的事。電影中有一幕是柯景騰與沈佳宜一起計算黑板上的排列組合問題。其實黑板上的幾題問題都非常有趣,它們牽涉到一些香港中學課程中沒有明確教授的概念,所以如果《那些年》的故事在香港上演的話,柯景騰與沈佳宜就未必解得開黑板上的排列組合了。



三題問題分別是:
1.
用六種不同顏色塗一正方體,每一面一色,且每面顏色不同,會有多少塗法?
2.
八個人買六種飲料,每人要一種,共有幾種買法?
3.
將五粒不同顏色的珠子串成手鐲,共有幾種串法?

第一題問題,驟眼看起來是把6種顏色分別塗上6個不同表面,那麼方法自然是6!。但細心想一下,這個正方體是可以移動的,我們把同一個正方體用不同的擺放,就可以看到不同的顏色排列,但其實它們都是由同一個顏色排列方式的立方體得出的,我們不應把它們數作不同的排列。



就如下圖,扭計骰雖然用了不同的方式擺放,但其實只是同一顆扭計骰,它顏色的排列並沒有改變過。

懂得玩扭計骰的朋友必定知道,玩扭計骰的第一步就是扭好最底的一層。我們也可以把這技巧應用到這題排列組合問題中。我們先為正方體最底層塗上一種顏色,然後固定著它不要移動。那麼最頂的一層共有5種顏色選擇。之後把4種顏色放在剩下的4面,理應是4!個方式。但值得留意的是,儘管我們把底部的顏色固定了,正方體還是可以如下圖般順時針逆時針轉動,做出4個不同擺放方法,所以答案應該再除以4



最後答案就是5x4!/4=30,跟沈佳宜的答案一樣。

第二題就比較簡單直接,但牽涉到一個DSE課程沒有明確教授的方法--nHr

nHr
其實就是n+r-1Cn-1。如果我們要從n件不同的可重覆使用的物件中抽出r件物件,那麼組合數目就是nHr了。如果大家覺得以上定義太過複雜難明的話,我們不妨換過另一個比較好理解的說明,如果x1 + x2 + x3 + ... + xn = r,其中x1, x2, x3, ..., xn都是非負整數,那麼解的數量就是nHr

舉個例子,老師把10粒相同的糖果分給3位學生,有多少種分法?這個問題可以看成是求x1 + x2 + x3 = 10的非負整數解的數量,所以等如3H10 = 3+10-1C3-1 = 12C2 = 66

至於《那些年》中的問題,就可以視作x1 + x2 + x3 + … + x6 = 8的非負整數解數量,就是。 6H8 = 6+8-1C6-1 = 13C5 = 1287

至於為什麼從n件不同的可重覆使用的物件中抽出r件物件的組合數目是n+r-1Cn-1呢?我們先從另一個角度思考題目,把題目理解成x1 + x2 + x3 + ... + xn = r的非負整數解,也就是把r種相同物件分成n組的方法,其中每一組的物件數量並沒有限制。試想想,如果我們要把把r種相同物件分成n組,我們可以把這r種物件排成一行,然後在中間加入n-1條分隔線。例如下圖的顯示的就是把9種相同物件分成3組的其中兩個例子,要把它們分成3組,就必須在它們中間加上2條分隔線。



那麼組合的數量就相當於在n+r-1個位置中選擇n-1個位置放置分隔線,組合數目自然就是n+r-1Cn-1

最後一題問題,驟眼看起來是把5種顏色分到5粒珠子上,那麼排列方法當然是5!。但正如剛才第一題題目,手鐲是可以如下圖般順時針或逆時針旋轉的。



為了解決這問題,我們可以先把其中一粒顏色的珠子位置固定,剩下4種顏色可以在4顆珠子中排列,排列的數目是4!

但別忘記,手鐲除了可以順時針或逆時針旋轉,更可以把上下翻過來。為了避免重複計算,答案應該再除以2。答案是(5-1)!/2=12



根據我們的分析,如果把n粒念珠(n>2)串成手鐲,串法排列的數量就是(n-1)!/2,這種排列的方法有個特別的名稱,叫「珠狀排列」。

排列組合的問題博大精深,更為柯景騰與沈佳宜青春時的曖昧,帶來了最美麗的回憶。難怪導演九把刀在經過這麼多年後,仍然對排列組合的問題念念不忘,更讓它們成為了電影中的重要元素。

2019年2月2日 星期六

從醫學到天文學:血液中的鐮刀與天上的鐮刀


重型地中海貧血症影響到不少亞洲病人,它是個非常難纏的疾病,患者需要終生接受輸血才可以活命。但相較起來,非洲人卻面對著一個更麻煩的惡魔──鐮刀型細胞貧血症(sickle cell anaemia)。顧名思義,鐮刀型細胞貧血症患者的血液中充滿了鐮刀狀的紅血球。這些血液中的鐮刀就如死神的鐮刀般可怕,死在它手上的病人不計其數。

鐮刀型細胞貧血症病人的周邊血液抺片

聖經故事記載,魔鬼是墜落了的天使。同樣地,鐮刀型細胞貧血症這隻魔鬼最初的出現竟然是造福了人類。非洲大陸在很久以前已經受到瘧疾的肆虐,這種殺人無數的寄生蟲會感染紅血球。於是久而久之,人類漸漸演化出可以預防紅血球受感染的基因,也就是鐮刀型細胞貧血症基因。變異基因屬於隱性基因,遺傳到一條基因的人會有正常的紅血球,卻可以減少紅血球被瘧疾原蟲感染的風險,這原本是一件很美好的事。亦因為這原因,變異基因在非洲人中變得流行起來,這就是達爾文「物競天擇,適者生存」的現象。奈何,當人同時遺傳到兩條變異的基因,就會得到惡名昭彰的鐮刀型細胞貧血症。

鐮刀型細胞貧血症除了有一個非常有趣的來源外,它的發現史也在醫學長河中佔有非常重要的地位,它是醫學史上首種被發現的分子遺傳疾病。諾貝爾獎史上唯一一位同時獲得化學獎與和平獎的科學家,差點搶先華生及克拉克一步發現DNA結構的天才化學家鮑林(Linus Pauling)在1949為鐮刀型細胞貧血症患者和鐮刀型細胞貧血症基因攜帶者的血紅蛋白進行電泳分析,發現正常人和患者的血紅蛋白的電泳圖案有明顯不同,從而推斷出鐮刀型細胞貧血症是由於血紅蛋白分子的缺陷造成的。

現在科學家已經了解到鐮刀型細胞貧血症的變異基因其實是由血紅蛋白中β球蛋白基因的突變引起的,這突變令到血紅蛋白中的其中一個胺基酸改變了,變成HbS血紅蛋白。在缺乏氧氣的情況下,HbS血紅蛋白會連結聚合在一起,形成鐮刀型的紅血球。鐮刀型紅血球會阻塞血管,令身體組織缺氧而受損。患者的脾臟會因缺血而失去功能,令他們容易受到嚴重感染。患者又不時會有週期性的骨骼及胸部疼痛。其他常見的併發症包括中風、視網膜病變、關節缺血性壞死(avascular necrosis)、腎病變、陰莖異常勃起(priapism)等,影響之大遍佈全身。

鐮刀型細胞貧血症除了骨髓移植之外並沒有徹底根治的方法,醫生只能用方法去減低出現併發症的機會,例如輸血及使用藥物hydroxyurea

血液中的「鐮刀」殺人如麻,令非洲人聞風喪膽,但原來天上卻有另一個令人嚮往的美麗「鐮刀」──「獅子座大鐮刀」(sickle of Leo)。

「獅子座大鐮刀」(來源:Steve Martin)

獅子座是著名的春季星座,會在春天時高高地掛在夜空中。獅子的頭、頸,一直連到心臟,看起來像是個倒轉的問號,西方人稱它為「鐮刀」。當農夫們看到這個大鐮刀時,就知道春天播種季節已到,他們也應該拿起手上的鐮刀下田工作了。

Stellarium軟件所展示的獅子座

「鐮刀」從南至北由軒轅十四、軒轅十三、軒轅十二、軒轅十一、軒轅十及軒轅九六顆星組成。當中最南的星是「獅子的心臟」,叫做軒轅十四(Regulus)。它是獅子座最亮的星星,也是黃道上唯一一顆一等星。單以亮度計,它是全天21顆一等星中排名最末的一位,未算很突出,不過由於它落在黃道上,所以可以引起一些有趣的天文現象,例如「軒轅十四合月」。亦因為它座落在黃道上,不少民族都把它與帝王聯繫起來。軒轅十四的英文名稱Regulus在拉丁語中就有王子或小國王的意思。在中國古天文學中,軒轅十四是「軒轅十七星」之一。軒轅是黃帝的稱號,傳說中黃帝離世之時有飛龍降臨,黃帝之後駕龍歸天,這十七顆星就是黃帝與他乘座的龍。

提起獅子座,不少人都會想起大名鼎鼎的獅子座流星雨。每年的十一月中旬就是獅子座流星雨的高峰期。流星雨的輻射點位於獅子座大鐮刀中軒轅十二的附近,因而得名。在1998年至2002年間,獅子座曾出現大型流星雨,每小時有幾百顆,甚至過千顆的流星出現。但近年,獅子座流星雨的壯麗程度已經大不如前。原來獅子座流星雨由坦普-塔特彗星(Tempel-Tuttle)所遺留下的塵埃引起。它的軌道與地球的公轉軌道相交,地球通過交會點時彗星留下的塵埃就會進入大氣層,發出光芒,形成流星。坦普-塔特彗星的公轉周期是33年,所以獅子座流星雨每次大型爆發之後,就需要再等33年讓坦普-塔特彗星從新補充塵埃。

資料來源:

1.      Roseff SD. Sickle cell disease: a review. Immunohaematology. 2009, 25 (2): 67-74.

2.      Eason WA. Linus Pauling and sickle cell disease. Biophys Chem. 2003; 100 (1-3): 109-16.

3.      Starrix 星匯點(http://www.starrix.hk/starrix_pastevent.html

4.      香港天文台

2019年1月18日 星期五

2018年史丹福最喜愛的電影

第十位:《挑戰者一號》





史提芬史匹堡近年來的作品都偏向小眾,想不到他再次執導商業娛樂片,也依然寶刀未老。《挑戰者一號》是一部百分百的商業娛樂片,以打機尋「彩蛋」為主題,向八、九十年代的美式(還有日式)流行文化致敬。如果你熟悉美式流行文化的話,必然會興奮得大拍手掌,甚至會有點莫名的感動(高達出來的一幕簡直令全場拍手)。電影上畫的時候,甚至掀起過一陣影迷尋找戲中「彩蛋」的熱潮。除了「彩蛋」的元素外,電影本身也是劇情緊揍、娛樂度高、特技出色,令人看得非常的爽。

第九位:《與神同行》



過往,電影的大宇宙觀只會在荷里活電影中出現,但《與神同行》卻是韓國很成功的嘗試,它把自己的歷史文化融入電影構建的龐大世界觀,加上大型動作特技,成為亞洲少有的出色動作科幻電影。主角在地獄使者帶領下,通過一層層的地獄審判,途中遇到各樣危機,令地獄變成了刺激的闖關之旅,電影又透過不同的審判去揭露主角的身世,最後帶出韓式煽情催淚的結局。除了在電影情節中下過苦工外,在視覺特技上,各個地獄的設計也非常壯觀美麗,雖然及不上荷里活電影,但還是足以令大家眼前一亮。

第八位:《水行俠》



在《神奇女俠》之後,DC終於再有出色的作品!就如《神奇女俠》一樣,《水行俠》有兩個成功之處,第一是撇除不必要的黑暗元素,專心地做好娛樂;第二是撇除不必要地連接DC宇宙,專心地做好獨立電影。故事本身就如萬花筒般,有古典神話、海盜、戰爭、宮廷、冒險、尋寶、驚嚇,甚至旅遊元素(看完後真想去次西西里島),包羅萬有。導演溫子仁果然是信心保證,把如此多的元素融匯貫通,故事線穿插陸地世界的國際政治及海底世界各國的權力鬥爭,而且科幻元素應有盡有,令情節異常緊湊,張力十足。電影的特效也非常精彩,而且女主角Amber Heard是繼Gal Gadot後另一位DC電影中的出色女選角,令本身已經很精彩的電影再加幾分美艷。

第七位:《大君主之役》



《大君主之役》是今年最令我喜出望外的電影之一。二戰戰爭片與喪屍驚慄片結合,驟眼看來確實是伏味很濃,但出來的結果卻是出奇地自然,而且不論是戰爭或是驚慄部分,電影都處理得非常出色,彼此呼應,絕對是玩味十足。

電影的題材雖然帶點cult味,拍起來卻非常認真。當怪物還未出現之前,電影是一部精彩的「雷霆救兵」式的現代戰爭片,把戰場中槍林彈雨的壓迫感發揮得淋漓盡致。喪屍怪物出現之後,劇情發展為「困獸鬥」式的驚慄片,非常緊張。除了典型喪屍片出現的元素外,電影又加入噴火器等的二戰軍事元素,令主角們與喪屍的對戰變得更多元化。在科幻動作電影改篇、續集當道的年代,這絕對是原創電影的一股清泉。

第六位:《人肉搜索》



這是一部很特別又很有趣的電影,講述單親爸爸在網路上透過各種方法來尋找離奇失蹤的女兒,故事完全在電腦世界中發生,藉此帶出網路世界出現的現象,如呃like、不負責任地留言等,反正網上世界只是一個虛幻的舞台,大家都只求得到注意,又或是不負責任地「吃花生」。電影對網絡世界的諷刺十分到位,但撇除這點外,電影本身也是個非常精彩的懸疑故事,佈局出色,轉折位令人意想不到卻又言之成理,再加上令人感動的父女情元素,為這個令人緊張無比的懸疑故事加入了一點溫暖人性。

第五位:《職業特工隊:叛逆之謎》




《職業特工隊》系列是少有的越拍越精彩的長命電影系列,把大家喜歡的舊有元素都發揮得淋漓盡致。Tom Cruise繼續瘋狂玩命,IMF繼續以面具折穿各個陰謀。單論整個陰謀的複雜及細膩程度,是整個《職業特工隊》系列中數一數二的。論Tom Cruise的玩命動作場面,今集也許未及前兩集般經典,但也有跳傘、飛車、忙命狂奔,到最後的直升機大戰緊張刺激,驚險非常,絕不失禮。


到結局更是超級把三條支線互相穿插,把《職業特工隊》系列的超強動作場面推到高峰。結局明明是很傳統的折彈情節,偏偏又可以玩出新意。用上三條支線互相穿插,三線各有各緊張,危機一個接一個,令人如坐針氈。但最令人想不到的是今集《職業特工隊》竟然玩集體回憶,玩感動,把眾多舊作的人物、劇情與經典場面帶入,令到這系列有一個更堅實的「宇宙觀」。

第四位:《荷里活爛片王》



《荷里活爛片王》的故事沿自傳奇演員Tommy Wiseau自篇自導自演的,被譽為「最好看的最爛電影」的《The Room》。《The Room》以超越大家邏輯想像的跳躍式對白、不明所以的拍攝手法、大量完全不發展的奇怪支線,瞬間得到了不少影迷的歡心,並觸發了一陣「觀爛潮」。在美國,觀賞此電影的人群絡繹不絕,放映到今天依然場場爆滿。

《荷里活爛片王》就是改篇自Tommy Wiseau拍攝《The Room》的經過,所以本身已經喜感十足,單是把《The Room》中的片段「神還原」已經足以令觀眾們抱腹大笑。James FrancoTommy Wiseau這位帶東歐口音,說話騎呢、思維奇特的奇演唱演得入木三分。但電影最令人喜歡的不單是其笑料,更是它的正能量。Tommy Wiseau很愛電影,他不惜一切代價地追夢,雖然在旁人看來是浪費時間,是不可能成功的,但最後他還是得到了大家的欣賞,得到他所渴望的掌聲及(恥)笑聲。所以只要我們有堅強的意志,去做認為自認為正確的事,最終總會有人欣賞的。如果連你自己都對自己失去熱情,其他人又怎可能對你有熱情呢?

第三位:《波希米亞狂想曲》




這套電影絕對會令大家愛上經典樂隊Queen。主音Freddie Mercury的一生竟然如此充滿戲劇性,由個人交往對象,到性取向,到與樂隊、家人的關係,到最後患上愛滋病,這個高低起跌的一生本來就足以令觀眾看得如痴如醉。再加上主角為肖為妙的演出,大家可以在一段段悠揚悅耳的經典歌曲下,細味每首歌曲背後的故事。其中最精彩的當然是電影結尾live aid神還原,絕對可以感受到主角以生命中最後的火焰去演出,看完過後感動的心情一直在心裡縈繞,久久不能散去。

第二位:《屍殺片場》



真不知道編劇導演們的腦袋是如何運作的?究竟是如何想得出這個近乎瘋狂的故事呢?電影公司宣傳時都集中在開首37分鐘一鏡直落的喪屍大戰,因為除了開首37分鐘,其他一切的資訊都會影響觀眾的體驗,開首的37分鐘之後的發展是你絕對意想不到的。那37分鐘,有人覺得並不出色,甚至是很爛,網上甚至有人說看到一半便忍不住離場。誰知那37分鐘只是一個引子,之後的發展才是最精彩的地方,看完之後再回想一下,會發現開首的37分鐘根本是神來之筆。最初的那些不滿、失望,突然會轉化成興奮、激動!

(以下有劇透,強烈建議未看過電影的朋友快離開,因為這套電影在甚麼都不知道的情況下觀看,才會有那種強烈的快感。)

《屍殺片場》講述拍攝電影時辛酸。開首37分鐘看似很「爛」,但原來每個鏡頭背後都有它的故事。由於要一鏡到底,所以無論發生甚麼意外,劇組都必須咬實牙關,出盡各種瘋狂鬼主意把拍攝重回正軌,然後引發無數的笑料。這些笑料實在太有創意,而且完美地呼應了頭37分鐘的情節。如果沒有頭37分鐘,電影的下半部就不可能如此地好笑了,那是久違的讓人笑到標眼水。這不是誇張的修辭手法,而是真實的標眼水。電影也不是單單地無厘頭的好笑,而是很熱血地道盡了電影工作者的辛酸。可以寫得出這故事的人,肯定是非常熱愛電影吧!


第一位:《復仇者聯盟3:無限之戰》




《復仇者聯盟3:無限之戰》把MCU帶到新的高度,電影帶出的熱血、激情與感動是以十年的時間,18部前作交織出來的。

電影劇情豐富,幕幕高潮,角色眾多但導演駕馭得很好,把一眾人物的恩怨情仇連結起來,導演的導技之高真心令人拍爛手掌。在連結眾多舊角色之餘,電影更要帶出全新角色Thanos,他是個強得令人難以置信的奸角,稱他為超級英雄電影史上最強的奸角也不為過,而且他根本上就是本集的靈魂,電影深入地描繪了Thanos的心路歷程,電影很立體地帶出他內心的爭扎,又描述了他為了自己理想而作出的犧牲,看得不少觀眾都不禁同情他,甚至認同他。結局是非常的藝高人膽大,相信無人可以事先想像到電影以這個方法完結,震撼之餘,更是餘音裊裊。

不過看《復仇者聯盟》系列其實不止是為了看一部電影,而是為了見證一個時代的回憶。電影的好看是累積回來的,如果沒有長達1018部前作的鋪排,跟本不可能出現一部如此成功的電影。

2019年1月11日 星期五

走進血液細胞的工廠--骨髓(下)

上回介紹過紅血球先驅細胞、粒細胞先驅細胞及巨核細胞等骨髓中的三大家族。但其實骨髓中有很多其他的重要細胞。它們的數量雖然不多,但卻是骨髓中不可或缺的一分子。

漿細胞(plasma cells)負責製造抗體,是重要的免疫細胞。它的前身是B淋巴細胞,由骨髓中的淋巴原始B細胞(progenitor B-cells)演化出來。淋巴原始B細胞會一直演化,走到血液及淋巴組織,經歷過一大段訓練,過盡千帆後,終於成了漿細胞,又重新回到骨髓中。

漿細胞的細胞質顏色偏藍,細胞核圓圓的,並側了在細胞一邊。漿細胞最搶眼的特徵莫過於細胞核旁有個淡色的部分,叫做核周暈(Perinuclear halo),它是高基氏體(Golgi apparatus)聚集的地方,所以又叫高基氏區域(Golgi zone)。高基氏體是一種用於處理蛋白質的胞器(organelle),而漿細胞需要大量的高基氏體用來幫助它製造抗體。


漿細胞(紅色箭嘴)


巨噬細胞(macrophage)是身體的清道夫,最愛吞食異物,除了負責吞食病原體外,更會清走死細胞或細胞殘片。它有豐富的不規則灰藍色細胞質,有時候甚至可以在細胞質內見到它吞食完的細胞殘骸。

巨噬細胞(紅色箭嘴)


肥大細胞(mast cell)最顯眼的特徵在於它那又粗又深色的顆粒,這些顆粒非常豐富,豐富得把細胞的其他部分全部都遮住了。肥大細胞由現代血液學的先驅埃爾利希(Paul Erlich)發現並命名的,他之所以取這個名稱,是因為覺得這種細胞有很多粗顆粒,看起上來應該有足夠的營養,生長得又肥又大。


肥大細胞(紅色箭嘴)

肥大細胞是過敏反應的罪魁禍首,它那粗粗的顆粒中有很多化學遞質(mediators),包括組織胺(histamine)、肝素(heparin)、血清素(serotonin)、白三稀(leukotriene)、前列腺素(prostaglandin)等。當身體的免疫系統接觸到花粉、塵蟎、動物毛髮等致敏原後,就會激發漿細胞製造IgE抗體,IgE抗體會附上肥大細胞上,令它釋出化學遞質。這些化學遞質,特別是組織胺,令到組織充血腫脹、血管擴張及通透性增加,引起眼鼻部痕癢、皮膚出疹、流鼻水、支氣管收縮、嘔吐或腹瀉等症狀。

最後要介紹的是蝕骨細胞(osteoclast)與成骨細胞(osteoblast),蝕骨細胞是多細胞核的大細胞,驟眼看來有點像巨核細胞,不過細心看的話會發現它的細胞核分得很開,較為實色。成骨細胞的細胞核側在細胞一邊,有名顯的高基氏區域,驟眼看來有點像漿細胞,不過成骨細胞的細胞質沒有那麼藍。


成骨細胞(紅色箭嘴)


蝕骨細胞(紅色箭嘴)

蝕骨細胞與成骨細胞是一對冤家,蝕骨細胞負責分解骨組織,把骨骼中的鈣及磷酸根(phosphate)離子放到血液中;成骨細胞則負責製造新骨,把血液中的鈣及磷酸根用於製造骨骼組織。我們的骨骼就是它們的「戰場」。在正常的情況下,成骨細胞製造新骨的速度與蝕骨細胞的破壞舊骨的速度一致,使我們的骨質總質量得以維持,血液中鈣及磷酸根離子的濃度也得以維持。如果它們間的活動失衡,例如蝕骨細胞太活躍,就可以引起骨質疏鬆症(osteoporosis)等骨骼問題。

資料來源:
Bain, Barbara Jane. Blood Cells: a Practical Guide. John Wiley & Sons Ltd., 2015.