2018年10月9日 星期二

數學無用?


著名天文學家,香港大學前理學院院長新教授近日於網上分享了一篇刊登於南華早報的質疑數學用途的文章,及教授的看法與回應。文章的內容大致上是說如果一般人並不從事工程與科學相關的工作,那麼只需學習基本的數學運算就可以了,中學所教的代數、三角學、微積分都並不需要。教授當然不認同這看法,因為數學可以訓練學生的邏輯思維與抽象思維。而史丹福也有感而發,想談談我自己的看法。



利申,史丹福沒有受過正式的高等數學訓練,數學只學到高中程度,但我喜歡數學,閒時也喜歡自己學習一些大學本科程度的數學。

首先,相信大家都不會否認現今的科技從宏觀上來說是靠高等數學撐起來的。大家今天所住的高樓大廈,用的電力系統、電腦,所乘搭的飛機、鐵路,無不牽涉到微分方程、線性代數、傅立葉分析等高等數學。大家現在使用的GPS定位系統所需要的衛星甚至需要用到廣義相對論修正,而廣義相對論又需要用到大眾覺得「無用」的黎曼幾何。可以說,沒有高等數學,絕不會有今天的現代社會。

不過文章的作者也沒有否定數學在這方面的貢獻,他只是認為不是從事工程與科學相關的工作,那就不需要學習基本算術之外的數學,但史丹福對此也不敢苟同。

一來,正如教授所講,數學可以訓練人的邏輯與抽象思維,不懂數學的人太容易受騙了。 例如之前一篇報導提及一個有關學歷與喝酒頻率的關係,研究顯示教育程度越高的女性,會有更高喝酒機會率。作者提出這可能是因為學歷高的女士更積極社交,職場上有更多應酬;也可能是因為他們家境更好,自少已經較高機會接觸到酒。但標題卻把這結果寫成「女性越喜歡喝酒,智商越高」,不少網民都信以為真。其實寫標題的編輯明顯不懂統計學上因果關係與關聯(association)的分別。正如夏天氣溫高時多人吃雪糕,也多人中暑,所以吃雪糕的人數與中暑的人數是有關聯的,但我們絕不可以因此而斷定吃雪糕會引起中暑。



又例如有篇文章把大包圍買樂透的方法寫成「數學家使用神奇算法」。如果有學過高中排列組合的朋友就會知道他只不過是在彩池足夠地大時進行大包圍,這是一般中學生都做得到的,當中並沒有甚麼神奇算法。



第二,大家永遠不會知道未來需要甚麼知識,如果抱著「不從事科學及工程相關工作就不需要多學數學」的心態,很容易就會「書到用時方恨少」。

例如大眾都覺得醫學不需要用到太高深的數學,誰不知要明白心電圖的運作是需要用到向量(vector),藥物動力學(pharmacokinetics)甚至牽涉到微積分的概念。當年讀醫學院時,修讀得較少數學的同學在理解這些概念時就明顯較吃力了。

又例如我有位好友打算報讀工商管理碩士課程,但他需要應考一個入學考試。他在準備考試的時候,遇到不懂的問題就會與史丹福討論。原來考試對數學的要求甚高,其中更有不少問題涉及到基本的數論(number theory)知識。這門「無用」的數學分支在中學課程中完全沒有提及過,史丹福也不過是因為興趣而自學了一點,這時卻大派用場了。





最後,退後一萬步,就算某些數學分支的應用價值不高,它本身的美麗已經為世界增添左很多色彩。它是一門文化,一門藝術。就像不少香港女性到日本旅行的時候都喜歡穿和服拍照。和服有甚麼用?「冇呀,靚嘛。」對,數學就如和服一樣,辜勿論它的實用價值有多高,單單是它的美就已經很值得大家學習與欣賞。

例如我中學時學的「九點圓」理論指出對任何三角形,三角形三邊的中點(midpoint)、三高的垂足(foot of altitude)、和頂點到垂心(orthocentre)的三條線段的中點必定共圓(concyclic)。


「九點圓」的確沒有應用價值,但史丹福在學習了這定理後,立即覺得世界變得奧妙,人類變得渺小了。在如此美麗的定理面前,也許我們都應該更加謙卑地欣賞自然的神奇,而不是自大地斷言這門學問是「沒有用的」,是「不需要學的」。

2018年10月6日 星期六

基因工程創造出的超級危疫滅癌殺手--CAR-T細胞療法

今屆諾貝爾生理學及醫學獎由兩位免疫學家艾立遜(James P. Allison)及本庶佑(Tasuku Honjo)奪得,他們分別發現CTLA-4PD-1兩種免疫抑制受體,這個發現為我們帶來了ipelimumabnivolumabpembrolizumab等免疫檢查點抑制劑(immune checkpoint inhibitor),成了一種對抗癌症的全新療法。

其實除了免疫檢查點抑制劑外,另一種形式的免疫療法CAR-T細胞療法也為血液癌症的治療帶來了全新的希望,可以預期它將在未來為醫學界帶來一個翻天覆地的大革命。史丹福甚至覺得這項研究非常有潛力去獲得未來諾貝爾生理學及醫學獎的肯定。

CAR-T細胞,全名是chimeric antigen receptor T細胞,即嵌合抗原受體T細胞。其實我們的身體其實有一個完善的免疫系統去對抗腫瘤,但腫瘤也有很多方法去欺騙我們的免疫系統,例如減少第一類MHC蛋白的顯現、減少共刺激分子(costimulator)的顯現、釋出細胞激素(cytokines)去抑制免疫系統等。

CAR-T細胞療法的原理是人工改造病人的T細胞,讓它們變成專門瞄著癌細胞攻擊的超級殺手。做法是先從病人體內抽取T細胞,然後利用基因工程技術,使用特別的病毒把T細胞受體改成嵌合抗原受體(chimeric antigen receptor),這種受體就如一個GPS系統,它不會被癌細胞蒙蔽,且只會瞄準癌細胞上的目標來攻擊。這些裝備了嵌合抗原受體的T細胞就是CAR-T細胞,它們被改裝到只為一個目的而存在,就是殺死癌細胞。CAR-T細胞會在體外大量培殖至數十億至百億粒,然後就可以重新輸回病人體內,對癌細胞發出排山倒海的攻擊。

CAR-T細胞最先在1987年被以色列免疫學家Zelig Eshhar發明,之後Steven RosenbergCarl June等學者作了進一步的研究,例如研究如何在實驗室裡有效率地大規模培養CAR-T細胞及把它們重新放進病人體內。

Steven Rosenberg2010年首先報告首個成功使用CAR-T細胞療法的案例,病人是一位晚期濾性細胞淋巴癌(follicular lymphoma)的病人。之後Carl June團隊的成員David Porter也於2011年報告了成功以CAR-T細胞療法令慢性淋巴性白血病(chronic lymphocytic leukaemia)病人進入完全緩解(complete remission)的病例。

賓夕法尼亞大學Carl June團隊的成員Stephan Grupp其後進行了一個更大規模的臨床研究,針對兒童及青少年的B細胞急性淋巴性白血病(B-acute lymphoblastic leukaemia)。他們的研究對象為曾經嘗試過多種傳統療法皆無效的病人,結果非常驚人,使用了CAR-T細胞療法後,有達90%的病人都有快速的反應,有不少病人甚至完全偵測不到癌細胞。

B細胞急性淋巴性白血病的癌細胞
CAR-T細胞療法也不是全無缺點的,雖然患者對它的反應率非常高,但它可以引發危險的細胞激素釋出症候群(cytokine release syndrome),造成發燒、心跳及呼吸急促、血壓下降、神志不清,甚至死亡。儘管如此,醫學界已經慢慢學懂如何控制這副作用。

2017年,美國食品藥品監督管理局(Food and Drug Administration,簡稱FDA)正式批准使用tisagenlecleucel,一種攻擊CD19CAR-T細胞,來治療兒童或年輕患者的復發或難治的B細胞急性淋巴性白血病。這是首種獲FDA批准的CAR-T細胞療法,相信未來獲批准使用CAR-T細胞將會越來越多,用來治療的癌症種類也會越來越廣泛。CAR-T細胞療法必定會為癌症治療帶來一場全新的革命。

資料來源:

1.       Dunbar CE. Blood's 70th anniversary: CARs on the Blood highway. Blood. 2016; 128(1): 1-3.

2.       Zhao Z, Chen Y, Francisco NM, et al. The application of CAR-T cell therapy in hematological malignancies: advantages and challenges. Acta Pharmaceutica Sinica B. 2018; 8(4): 539-51.

2018年10月1日 星期一

《詭修女》:捉到鹿唔識脫角




《詭屋驚凶實錄》是我最喜歡的恐怖片系列,最近更發展出一個「詭屋電影宇宙」,把一眾角色串連起來。想不到一個鬼片系列可以做到Marvel般的大宇宙,真是創意十足。還記得《詭屋驚凶實錄2》是我首套進電影院觀看的恐怖鬼片,結果差點比嚇得彈起來,電影氣氛營造及場面設計皆屬上盛,以高潮不斷的驚嚇場面,為我帶來極震撼的觀賞體驗。當中詭修女出現的場面令人印象難忘,特別是從畫裡彈出的一幕。雖然詭修女只是電影中的支線,但驚嚇驚比主線更強,每次它的出現都是令人動魄驚心的。

今次的《詭修女》故事先天性是很吸引的,但總有的「捉到鹿唔識脫角」的感覺,令電影未發揮到它應有的驚嚇感。

《詭修女》的背景是羅馬尼亞的修道院,附近又有個墳場,場景本來已經很陰森恐怖,而且也終於跳出了「詭屋」的場景,比起前作多了些變化。電影的危機一浪接一浪,甚至有些解謎、尋寶的情節,娛樂性豐富,毫無冷場。

但若論驚嚇情節,電影就與兩套《詭屋驚凶實錄》以及《詭娃安娜貝爾:造孽》相差甚遠(但應該還是勝過首集《詭娃安娜貝爾》。須知道前作恐怖的地方在於氣氛的營造,以時間慢慢製造出張力,令觀眾自己嚇自己,明知有事情會出現但又不知道何時出現及如何出現,有種令人坐立不安的感覺。例如首集的「啪啪」、第二集的詭修女畫彈出、水鬼,及《詭娃安娜貝爾:造孽》”your soul”一段加上之後搭升降台逃跑便是出色的例子。今集《詭修女》的驚嚇場面似乎比較趕急,還未製造出足夠的張力便突然來個jump scare,所以總的來說真的沒有幾多個驚嚇場面太過令人難忘,唯一一場較令我印象深刻的場面是Valak影子走下樓梯的一幕,但那幕明顯是重玩《詭屋驚凶實錄2》詭修女從畫彈出,所以也未算很創新。

另一樣很多觀眾不滿的應該是太多「物理攻擊」吧?人類用散彈槍,鬼怪用手捉頸,太多的物理接觸就少了靈異的恐怖感。

電影也有些邏輯上的漏洞。《詭屋驚凶實錄2》以一個很好的扭橋帶到電影結尾的高潮,令人驚嘆,原來鬼片的故事性都可以做到如此精彩。《詭修女》同樣以一個驚人的扭橋帶出電影結局,不過這個扭橋卻令人不禁疑惑,「咁之前睇左咁多分鐘其實算係點呀?」

不過,雖然驚嚇度及故事性不及前作出色,電影還是有其可取之處的。如電影有一幕眾多修女一起祈禱的情節,不算驚嚇但令人感到危機感十足,視覺效果上也很出色。

另外,《詭修女》結尾最後輕輕一帶,就這樣完美地連到首集的《詭屋驚凶實錄》中(據聞原本的結局更加震撼,以更加精彩的方法連到首集,不過因為經費問題而改為現在這版本,不過這版本也夠精彩了)。但我期望電影會連接到《詭娃安娜貝爾:造孽》中出現的修女,這次卻未有出現。《詭屋驚凶實錄》宇宙這樣慢慢成長,令人非常期待。這個鬼片宇宙似乎比DC宇宙,或者Dark universe令人期待得多。 總的來說,如果你抱著像《詭屋驚凶實錄》般驚嚇的心態進場,你可能會因期望過高而略為失望,但其實本片是不俗的,而且假如你是個《詭屋驚凶實錄》系列粉絲,那也沒有理由不去看看這個宇宙觀如何連結起來吧!

史丹福推介度:78/100

2018年9月28日 星期五

層層疊物理題


記得以前中學物理課的時候,老師曾經出過一道問題,設層層疊積木的長為a,那麼在桌子邊把兩塊積木疊起來,最多可以令它們伸出桌邊多長的距離而不倒塌呢?這個問題其實不難,但史丹福卻被這問題吸引了,自己繼續思考,如果把10塊層層疊積木疊起來,又最多可以伸到多長呢?如果有無限多塊層層疊積木,又最多可以伸到多長?今次我們特意請來奶油貓Peaches為我們作出示範,解釋這條問題。



首先,如果層層疊積木的密度平均的話,重心一定在最中間的一點。要令到積木不倒塌,重心就一定要被承托著。

放第一塊層層疊積木時,只要把它的重心放在桌邊,那麼它的重心被桌子承托著,便不會倒塌,所以伸出的長度是a/2



當有兩塊層層疊積木時,第二塊積木的重心必須又第一塊積木承托著。把第二塊積木的重心放在第一塊積木的最右端,這時兩塊積木合共的重心(下圖中的紅色交叉)位於兩塊積木中間,把共同重心放在桌子邊上,層層疊積木伸出了多a/4,共伸出了3a/4



但如果再加多幾塊積木,情況就開始複雜了。我們已經不能再在上面加積木,第三塊積木只要比第二塊伸出一點,三塊積木合共的重心就會伸到桌邊之外而倒下。但我們可以在下面放,把第三塊積木的最右端放在首兩塊積木的合共重心之下,然後把三塊積木的合共重心放在桌邊,這樣就可以把三塊積木放到最出。留意,積木伸出的長度其實是最高一塊積木最右端與三塊積木合共重心的水平距離。 我們繼續用類似的方法去放第四塊、第五塊、...、第n塊積木,也就是把第n塊積木的最右端放在之前n-1塊積木的合共重心之下,再把全部n塊積木的合共重心放在桌子邊,這樣就可以伸到最出而不倒塌。


 設放了第n塊積木後,伸出的長度,也就是全部n塊積木的合共重心與最上面一塊積木最右端的水平距離是xn 再放第n+1塊積木後,第n+1塊積木的重心與最上面一塊積木最右端的水平距離是xn + a/2



回到文中最初的問題,要知道10塊層層疊積木疊起來伸到多長,只要代入我們剛得出的公式就可以了,大家可以自行試試。 另外,如果我們有無限多塊層層疊積木,理論上是可以伸到無限遠的,並沒有上限。 1+1/2+1/3+1/4+...是一個很有名的,直覺上看起來好像會收斂(converge),但其實是發散(diverge)的級數。因為 



無限個1/2加起來是發散(diverge)的,1+1/2+1/3+1/4+...也自然是發散的。

2018年9月14日 星期五

南京航空航天大學食堂WiFi數學題

近幾日網上流傳南京航空航天大學食堂的WiFi密碼,竟然是有趣的數學題目,可以讓學生可以寓學習於娛樂,還有免費WiFi可用,一舉幾得。



那這條題目該如何計算呢?史丹福也來試一試吧。

題目用了-22作為不定積分的區間,直覺上應該是想利用奇函數(odd function)的性質。奇函數即一個滿足f(-x)=-f(x)得函數,它有以下一個特性:




直觀地理解,如果f(x)奇函數y=f(x)的圖像在y軸左邊與y軸右邊的部分一樣,只不過上下倒轉了,所以以-aa為界限的話,左邊與右邊與x軸形成的面積也是一樣,只不過上下倒轉了,可以互相抵消。就以下面y=f(x)=x^3的曲線為例,f(x)是一個奇函數,紅色與黃色的面積是一樣的,可以互相抵消。



如果用更嚴謹的方法去證明:



知道這性質後,之後的計算就非常簡單了:



2018年9月11日 星期二

切100刀最多可以把薄餅分成多少份?


相信大家都有試過切薄餅吧?不知道大家有沒有想過如何用最少刀把薄餅分成最多份?如果用100刀(只限用直線去切)又最多可以把薄餅切成多少份?

我們不妨從較簡單的例子開始考慮。切1刀最多可以把薄餅分成2份,切2刀最多可以把薄餅分成4份,切3刀最多可以把薄餅分成7份,切4刀最多可以把薄餅分成11份。留意,4-2=27-4=311-7=4。似乎切第n刀就可以為先前已分好的薄餅再額外分多n份。



為什麼如此呢?其實我們切第n刀的時候,只要選擇一條與之前的n-1條直線都相交,但又沒有與之前直線的相交點相交的直線去切下去,不難理解這個切法就可以額外分多n+1份薄餅。只要每一刀都用這個方法去切,就可以分多最多份的薄餅。

理論上,這條直線一定存在。在切第n條線的時候,我們只要從n-1條之前切的直線中任選一條,設它是l。選l上面任何一點沒有與其他n-2條直線相交的點,設它為x,讓l沿x作微小的旋轉,設新的直線為l’。由於l與其他n-2條直線相交,l’也與其他n-2條直線相交,而且l’也與l相交於x,所以l必與已之前切的n-1條直線相交。這樣就可以切到額外的n份薄餅。



根據這個原理,設用100刀最多可以把薄餅切成1+1+2+3+4+...+100份,即5051份。

2018年9月9日 星期日

DSE試卷上的「歐拉線」


雖然DSE數學課程比舊制課程明顯簡單得多,不過偶爾還是會出現相當有趣的題目。例如首屆DSE的數學M2試卷就出現了一題有關「歐拉線」的題目。

歐拉線是平面幾何中鼎鼎大名的理論,由其中一位史上最偉大的數學家歐拉(Leonhard Euler)所提出,是一條通過三角形的垂心(orthocentre)、外心(circumcentre)、重心(centroid)和九點圓圓心的一條直線,歐拉證明了在任意三角形中,這四點必成一直線。

歐拉非常多產,研究的範圍覆蓋了代數、幾何、數論、微積分、圖論和拓撲學,甚至是物理數學上都有不少突破性的研究,可以說是支配了18世紀至現在的數學。歐拉作出的數學貢獻多如恆河沙數,以他命名的數學理論也非常之多,大家翻開由何一個範疇的數學教科書,都差不多總會預到該個範疇入面以歐拉命名的數學理論。

言歸正傳,看看以下的DSE試卷題目(HKDSE 2012 數學伸延部份單完二 微積分與代數第12題):



答案如下:


題目用向量的方法得出了垂心、外心與重心共線,穿越三點的線就是歐拉線(雖然題目中沒有出現過歐拉線這名稱)。這題題目並沒有包括九點圓圓心,九點圓圓心是比較複製的平面幾何概念,我們有機會再作詳談。

除了向量外,我們也可以用一般平面幾何方法證明垂心、外心與重心共線,證法如下:


 DEF分別是BCCAAB的中點。OGH分別是ΔABC的外心、重心與垂心。

那麼ΔABCΔDEF,且FE//BCED//ABDF//CA(這個不太難證明,讀者可以自行試試)。

另外,由於ED//AB,所以AB的垂直平分線(perpendicular bisector)也必定垂直於ED,它是ΔDEF的垂線(altitude)。同樣地,BC的垂直平分線與CA的的垂直平分線也分別是ΔDEF的垂線。那麼OΔABC的外心,卻也是ΔDEF的垂心。

考慮ΔAHGΔDOG
AH/DG=BC/EF=2 (因為ΔABCΔDEF)
AG/GD=2 (properties of centroid)
AH//OD (兩條線皆垂直於BC)
GHA=GDO (alt. s, AH//OD)
所以ΔAHGΔDOG (ratio of 2 sides, inc. s)
ΔAGH=ΔDGO (corr. s, Δs)
AGD是一直線,所以OGH也都共線,這條線就是歐拉線。