2020年5月30日 星期六

江澤民與五點共圓幾何題


提起江澤民,大家會想起甚麼?大部分人都可能會想到亞視誤報死訊,或者江派與習派的鬥爭。不過數學愛好者們可能都知道,江澤民曾經在2000年視察澳門濠江中學時提出了一條有趣的幾何問題考學生,隨即吸引了很多人挑戰。問題如下:任意一個五角星型的五個三角形的外接圓交於五點,試證這五點共圓。參考下圖,就是要證明KLMNO共圓。



先始聲明,史丹福無意為任何獨裁者歌功頒德。事實上,全世界的人都應該唾棄獨裁政權。再者,這問題雖然因江澤民而開始廣為人知,但其實它是由法國數學家密克(Auguste Miquel)在1838年最先提出與證明的。江澤民懂得這數學定理,數學能力無疑是高的,但數學能力也與人格無絕對的關係,如某位數學家的妻子正是全香港最惡毒的婦人。

不過純以學術角度來說,這題目的確極具欣賞價值。解題所需的數學知識不多,只屬高中程度,但卻非常精妙,解題者需要有很高的數學觸覺才能找到圖形中隱藏的幾何關係。得出的結論也有很強的美感,可以說是歐氐幾何問題的典範。

史丹福也試做一次,答案如下:



首先我們先證明MCEK共圓。
我們需要先借G點一用,並證明GMCE共圓。
GMH =GBH
CMH = HIE (因為MCIH四點共圓,圓內接四邊形的外角等於它的內對角)
GMC + GEC = GMH + CMH + GEC = GBH + HIE + GEC = EBI + BIE + BEI = 180o
所以GMCE共圓,同樣地GKCE共圓,因此GMCEK共圓。



然後再考慮MNOK
MNIxONIy
MCI = MNI = x
MCEK共圓,所以MKE = 180o - MCI = 180o – x
y = ONI = OJE (因為ONIJ四點共圓,圓內接四邊形的外角等於它的內對角)= OKE
MKO = MKE - OKE = 180o – x – y
MKO + MNO = MKO + MNI + ONI = 180o – x – y + x + y = 180o
所以MNOK共圓,同樣地LMNO共圓,因此KLMNO共圓。