《愛．回家》中的數學題

前幾天播放的《愛．回家之開心速遞》講述兩位男生同時喜歡同一位女生，他們參加大學迎新營時，為了博得女生好感而各出奇謀。

內容並不是重點，重點是那一集劇集中出現了一題數學題。史丹福作為數學迷，當然情不自禁地地試計算一下。本以為在電視中出現的數學，要不就太過簡單，要不就是錯的（尤其是這電視台以「是是旦旦」著稱），誰不知這數學題不但沒有出錯，而且相當有挑戰性，史丹福也花了不少時間才解得到。

問題如下，大家有興趣的話可以試算一下：

我想問題困難的地方在於處理分母中的x - ln x，常用的技巧是用代入法（substitution）代入x - ln x，但運用代入法會製造出1/ (1 - 1/x)的項，所以我們不妨試試先併砌出一個1 - 1/x的項。

然後最巧妙的地方是運用分部積分法（integration by parts）竟然可以消去最尾的那個很難處理的積分項！

唔係咁科學喎

昨天港台播放的《真係好科學之唔係咁科學喎》非常有趣，請來了幾位科學專家探討坊間的保健產品的效用。節目中多次提及的一個核心問題是，我們怎樣知道一樣保健產品是否有效呢？四位專家作出了很有啟發性的討論，史丹福也覺得這個問題很重要，所以想再作一點補充。

舉個例子，街坊陳師奶跟你說：「我前陣子感冒，吃了產品X，兩日後就痊癒了，產品X真是有效。」她這個推論有沒有問題呢？

大家細心想想，陳師奶覺得自己病情好轉可以是因為「安慰劑效應」（placebo effect），即是她吃了藥後相信藥的作用，心理因素引起生理變化，少了不適的感覺。但這不是藥物的效果。即使陳師奶吃粒糖，她心裡以為這是特效藥，亦可能會引起同樣的心理影響生理效果。

節目中的專家提出，可能用保健產品的人自覺身體不好，所以多作運動，多作休息，均衡飲食，這又是陳師奶痊癒的另一個可能性。

再退後一萬步來說，其實我們根本上不知道陳師奶用了產品X之後是否更快康復，或許她不服用的話，一日後已經康復，不需要兩日呢？

那麼，我們有甚麼更有效的方法去解決以上的問題呢？ 醫學界中的金科玉律是隨機對照研究（randomized controlled trial），也就是把足夠的試驗對象隨機分成兩批，一批接受A療法，一批接受B療法，然後再比較一下兩者的分別。最理想的情況下，研究是雙盲的（double blind）。也就是說，提供療法者與接受療法者都不知道用的是那一種療法，例如把兩種藥物刻意設計成外觀一樣，令提供療法者與接受療法者都無法透過外觀認得藥物，這樣就可以避免提及剛才提及的「安慰劑效應」問題。

舉例來說，如果要用隨機對照研究的方法驗證產品X的療效，我們首先要找尋足夠數量的患上感冒的試驗對象，把它們隨機地分成兩組，而且這兩組對象的性質應盡量接近。否則其中一組多是體弱多病的老年人，另一組別是年輕力壯的青年人，無論兩者使用甚麼產品，後者的效果都肯定較前者理想。至於何謂足夠的試驗對象？這個問題牽涉到統計學的計算，我們就不在此詳談了。分成兩組後，其中一組試驗對象使用產品X，另一組則使用安慰劑。安慰劑是一種模仿產品X，但其實沒有有效成分的藥劑（例如包裝成產品X的膠囊，內裡卻只有麵粉）。試驗對象並不知道自己是接受那個療法。 這個做法便把剛才提及的大部分問題都解決了。假如使用產品X的組別平均康復時間為兩天，而使用安慰者的組別平均康復時間為五天，這樣我們就有很可信的證據去證明產品X有助縮短感冒康復所需的時間。

隨機對照研究雖然很有說服力，但做起上來很困難，又要找到足夠的試驗對象，又要用公平的方法把試驗對象隨機分組，又要設計出方法確保「雙盲」的效果。因此實證醫學中也有世代研究（Cohort study）及病例及對照組研究（Case-control study）等較易執行的研究方法，但其可信度就及不上隨機對照研究了。

事實上，實證醫學中有一個很標準的方法去分辨證據的可信度，叫做「證據等級」（level of evidence）。

第一級：隨機對照研究
第二級：世代研究
第三級：病例及對照組研究
第四級：病例報告（Case series）
第五級：專家意見（Expert opinion）

第一級是最可信的證據，等級越低，越不可信。《真係好科學》節目中提及諾貝爾化學獎與和平獎得主Linus Pauling提出用高劑量維他命C去補身，其實這只是他的個人意見，並沒有高等級的證據去支持。那管他是諾貝爾得獎者都好，在實證醫學的角度中，這只是最低等級的第五級「專家意見」。這也許比陳師奶的意見好一點點吧，因為陳師奶連專家也說不上。

如果有十位街坊試用過產品X之後有良好效果，那在實證醫學中屬於第四級的病例報告，是較為高質量的證據。而最高質量的證據就是隨機對照研究。

希望這篇文章可以令大家認識到基本的實證醫學概念，明白到何謂一個有質素的研究。下次遇到宣稱功效神奇的保健產品時，可以更有批判性思考，認真地想想宣稱的效果是否可信，避免被誤導或者被騙。

血液化驗室中的「攻擊性武器」

雷射是現代科學技術中必不可少的工具，其功用當然不止於用作「攻擊性武器」雷射槍去燒著報紙吧！事實上，它於工業、通訊、科學及醫學等多個領域都有很多的應用。上年的諾貝爾物理學獎──科學界成就的最高指標──也都是頒給了三位研究雷射技術的科學家，可想而知這是一個多麼重要的技術呢。

在史丹福工作的血液學領域中，雷射同樣是不可或缺的，例如流式細胞（flow cytometry）技術就可以幫助醫生診斷中各種奇難雜症。

流式細胞技術簡單來說就是利用雷射去檢測細胞的特性。流式細胞儀分為3個主要部分，分別是液流系統、光學系統及電腦系統。

液流系統會利用流體力學的方法把液體樣本中的細胞排成單行，一粒一粒地穿過雷射，好讓電腦系統可以一粒一粒地分析細胞的特性。

光學系統是流式細胞儀的核心部分，它發射雷射穿過細胞，然後透過細胞散射出的光去分析細胞的特性。細胞越大，散射向前方的光就會越強，我們稱之為前向散射（forward scatter）。至於散射向側面的光則取決於細胞內部結構的複雜程度，我們稱之為側向散射（side scatter）。舉個例子，單核細胞（monocyte）是白血球中最大的，所以在被雷射照射後產生的前向散射會最強。又例如嗜中性白血球（neutrophil）的細胞核分成多節，而且細胞質中有很多顆粒，它的內部結構是眾多白血球中最複雜的，所以它在被雷射照射後產生的側向散射比其他白血球要強。

單是偵測技術散射這個技術本身已經很厲害，但如果再配上特製的帶有螢光染料的抗體，那就更加是如虎添翼了。

每種細胞上都有獨特的抗原標記，如B淋巴細胞有CD19、CD20、CD22、CD79b，T淋巴細胞有CD3、CD2、CD5、CD7。這就好像醫生有白袍與醫生工作證，護士有護士工作服與護士工作證。只要知道細胞上的抗原標記，我們就可以知道細胞的真正身份。當然，有一些惡性癌細胞，也會出現異常的抗原標記，這就仿佛像某些職業的人士沒有委任證一樣。

帶有螢光染料的抗體能夠與特定的抗原結合。當細胞接觸到流式細胞儀發射的雷射，染料中的電子就會被激活，令電子去到較高的能量狀態，然後當電子從高的能量狀態回到低的能量狀態，多出來的能量以光的形式釋出。不同的染料會釋出不同波長的光。所以儀器只要分析光的波長，就可以得知細胞上有沒有特定的抗原標記。

最後，電腦系統會把所有資訊整理好，製作成圖表，醫生就可以透過這些圖表分析細胞的特性，從而作出診斷。

以下一個典型的例子：

大家有沒有被那些花花綠綠的點所嚇到？圖表中的每一點都代表一粒細胞。對應X軸的性質，右邊代表強，左邊代表弱；同樣地，對應Y軸的性質，上面代表強，下面代表弱。史丹福也不想把大家嚇壞，大家簡略地看看就好了。因為即使是血液病理科的醫生，都需要多年的訓練才可以準確地分到這些圖表。

簡單來說，史丹福把CD5陽性的B淋巴細胞標記為橙色，它們是異常的惡性癌細胞，因為正常的B淋巴細胞是不會有CD5抗原的。這些細胞就仿似一批有防暴裝備卻沒有委任證的人，是異常的，是惡性的。它們是CD23陽性（圖中沒有顯示），CD79b弱陽性，FMC7陽性，CD43陰性，CD200陽性（圖中沒有顯示），CD38陰性。再加上接近90%都是帶有kappa輕鏈的細胞，絕少帶有lambda輕鏈（圖中沒有顯示）。除了FMC7及CD43之外，其他的特徵都都指出這是慢性淋巴性白血病（chronic lymphocytic leukaemia）的細胞。

流式細胞技術在診斷急性白血病及慢性淋巴增殖性疾病時最為有用，因為不同急性白血病中的母細胞（blasts）形態非常相似，同樣地，不同慢性淋巴增殖性疾病中的異常淋巴細胞也甚為相似，我們很難純粹利用顯微鏡下的細胞形態去分辨它們。這時候，流式細胞技術就可以助醫生排憂解困。除了血液癌症外，流式細胞技術也可以用來診斷陣發性夜間血紅素尿症（paroxysmal nocturnal haemoglobinuria，簡稱PNH）及遺傳性球形紅細胞增多症（hereditary spherocytosis）等其他血液科疾病。

資料來源：

Bain, B. J., Lewis, S. M., & Dacie, J. V. S. (2012). Dacie and Lewis practical haematology (11th ed.). [Edinburgh]: Elsevier Churchill Livingstone.