2016年12月31日 星期六

2017

又到 2017 年,祝大家新年快樂。

2017是一個很特別的數字,它可以被表示為兩個平方數之和, 92 + 442 。原來2016 2015 2014…,直到 2010 都不可以被表示為兩個平方數之和。再上一個有這個特性的數字已經是 2009

究竟有那些數字可被表示為兩個平方數之和,有那些不可以?(為了方便起見,我們在下文會把「可被表示為兩個平方數之和」稱為「可表示數」,反之就稱為「不可表示數」。這不是一個正式數學用語,只是史丹福自創的簡稱。)

我們可以參考下以下的原則:

原則一:兩個「可表示數」之積也是「可表示數」

因為設兩個「可表示數」分別為 a2 + b2  c2 + d2 ,那它們的積 ( a2 + b2 ) ( c2 + d2 ) = ( ac + bd ) 2 + ( ad - bc ) 2 ,顯然也是一個「可表示數」。

原則二:一個「可表示數」與一個平方數的積也是一個「可表示數」

因為設「可表示數」為 a2 + b2 ,平方數為k2;它們的積 k2 ( a2 + b2 ) = ( ka )2 + ( kb )2,顯然也是一個「可表示數」。

原則三:一個可表示為 4n + 1 的質數是一個「可表示數」(其中n是正整數)

這個原則的證明較為複雜,我們有空再談。

原則四:一個可表示為 4n + 3 的數一定不是一個「可表示數」(其中n是正整數)

因為平方數除4的餘數一定是01,兩個平方數的和除4的餘數必然是012,而不可能是3。換句話說,可表示為 4n + 3 的數都不可能是兩個平方數之和。

總結以上四個原則,我們可以得出:如果一個數的質因數分解式中不包含可表示為4n + 3的質數的奇數次方,它就是一個「可表示數」,反之就是「不可表示數」

「噏乜啊?」小弟都知道你們不可能看得明白上面的外星語,所以我們還是看一下幾個實際例子吧:

2017 是一個質數,而且可表示為 4 x 504 + 1 ,所以是一個「可表示數」。

2016 = 25 x 32 x 7 2 當然是「可表示數」( 2 = 12 + 12);3是一個可表示為 4 x 0 + 3 的質數,所以是「不可表示數」,但它有偶數次方2,所以不影響 2016 是否「可表示數」;7是可表示為 4 x 1 + 3 的質數,所以是「不可表示數」,且有奇數次方1,所以2016也因此是一個「不可表示數」。

2015 = 5 x 13 x 31 ,而 31 是可表示為 4 x 7 + 3 的質數,且有奇數次方1,所以2015 是一個「不可表示數」。

2014 = 2 x 19 x 53 19是可表示為 4 x 4 + 3 的質數,且有奇數次方1 ,所以 2014是一個「不可表示數」。

2013 = 3 x 11 x 61 11 是可表示為 4 x 2 + 3 的質數,且有奇數次方1 ,所以2013是一個「不可表示數」。

2012 2011 2010 也是個「不可表示數」,大家可以自己試證。

2009 = 72 x 41 7 是可表示為 4 x 1 + 3 的質數,但它有偶數次方2 41 是可表示為 4 x 1 + 1 的質數。終於,我們找到一個質因數分解式中不包含可表示為 4n + 3 的質數的奇數次方的數!也就是說, 2009 是一個「可表示數」!
2009 = 7
2 x 41 = 72 x ( 42 + 52 ) = ( 7 x 4 ) 2 + ( 7 x 5 ) 2 = 282 + 352

2008 2007 2006 也是個「不可表示數」。

2005 = 5 x 401 ,而 5 41 都是可表示為 4n + 1 的質數,而皆有奇數次方1,所以 2005 是「可表示數」。
2005 = 5 x 401 = ( 1
2 + 22 ) x ( 12 + 202 ) = ( 1 x 1 + 2 x 20 ) 2 + ( 1 x 20 – 2 x 1 ) 2 = 412 + 182

雖然 2009 2017 相隔了很遠,但 2017 後下一個可被表示為兩個平方數之和的數字卻近在咫尺,正是 2018 。因為 2018 = 2 x 1009 ,而 2 1009 都是「可表示數」(1009是一個質數,且可被表示為 4 x 257 + 1)。
2018 = 2 x 1009 = ( 1
2 + 12 ) x ( 152 + 282 ) = ( 1 x 15 + 1 x 28 ) 2 + ( 1 x 28 – 1 x 15 ) 2 = 432 + 132

2016年12月24日 星期六

熱狗數學題

聖誕佳節,最適合吃一頓豐富美味的聖誕大餐。小弟最近上網見到一題熱狗數學題,充滿美食,令人好不興奮。小弟忍不住跟大家分享,順祝大家聖誕快樂。

(From Mathematical Mathematics Memes)

首先,毫無疑問,枝裝啤酒是10,漢堡包是5,杯裝啤酒是2。所以我們的問題變成了







Sinx/x類型的積分該如何解呢?原本數學家已經證明了這個函數不可以用我們熟悉的elementary function(也就是多頂式函數、三角函數、指數及對數)做得到積分。

也許我們可以試試用級數解,例如Taylor series












但這個級數也幫不到我們處理涉及到無限的瑕積分(improper integral)。

我們需要一些更厲害的工具──複變分析(complex analysis)。






所以我們沿著下圖的方向再e^(iz)/z做一次線積分。



這條路徑是特意設計出來去避開z = 0的一點,因為e^(iz)/zz = 0上是不可解釋(non-analytical)的。避開了這點後,這函數便在路徑區域內全都可解釋(analytical)。根據大名鼎鼎的Cauchy’s integral theorem,這個積分是0






我們取R2àR1à0





























回到最初的數狗數學題:


2016年10月29日 星期六

血型驗親:B型媽媽與AB型爸爸可以誕下O型孩子嗎?

前幾天在網上看了一篇新聞,說有一對夫婦,妻子是B型血,丈夫是AB型血,但誕下的孩子竟是O型血,結果當然是六國大封相。但妻子卻堅持孩子是與丈夫所生的。究竟B型媽媽與AB型爸爸可以誕下O型孩子嗎?

在解答這問題之前,讓我們先簡單地介紹一下人類的ABO血型系統。ABO血型系統由第9對染色體的ABO基因組所決定。ABO基因分為i, IAIB,每人各有一對。其中i是隱性基因,IAIB則是顯性基因,也就是說IAIB的基因可以掩蓋i基因。所以基因型是IAIAiIAIA i的人會有A型血,基因組是IBIBiIBIB i的人會有B型血,基因組是IAIBIBIA的人會有AB型血,基因組是ii人會有O型血。大家可以參考下圖。



A型血的紅血球帶有A抗原,血漿中有Anti-B抗體;B型血的紅血球帶有B抗原,血漿中有Anti-A抗體;AB型血的紅血球帶有AB抗原,血漿中沒有ABO血型的抗體;O型血的紅血球沒有ABO血型的抗原,血漿中有Anti-AAnti-B抗體。值得注意的是,ABO血型的抗原其實並不是蛋白質,而是一種糖。但基因不是用來控制蛋白質的製造嗎?為何ABO基因組能夠決定紅血球表面上的糖?原來ABO基因組能夠控制酶的製造,而這些酶可以在修改紅血球表面上的另一種抗原H抗原,為它加上糖,成為AB抗原。

父母會各隨機地把其中一條ABO基因遺傳給後代。舉個例子,如果爸爸基因組是IA i,媽媽的基因是IB i,那麼誕下的兒子就有以下的可能性:



1/4機會是A型血,1/4機會是B型血,1/4機會是AB型血,1/4機會是O型血。

再回到我們最初的問題,B型媽媽與AB型爸爸可以誕下O型孩子嗎?似乎不可能啊!AB型爸爸有IAIB兩條基因,無論遺傳那一條基因給小孩,他都不可能是O型血啊!

但當然,世事無奇不有,的確有一些罕有的情況是可以令AB血型的爸爸誕下O型血的孩子,例如BombayPara-bombay血型。



血型除了我們熟知的ABO血型系統外,其實還有很多其他系統,例如Hh系統,就是負責控制紅血球表面上的H抗原。我們之前提過,AB抗原其實就是由H抗原經過酶的修改,在其表面上加上糖而成的。但BombayPara-bombay血型的人紅血球表面上缺乏H抗原,即使ABO基因組令他們製造了A型或B型的酶,酶一樣不可以製造出A抗原或B抗原,所以病人檢查出來的血型只會是O型。ABO血型基因一定要有H抗原才可以顯現出來,遺傳學上稱這種一個基因必需另一個基因才可以顯現出來的現象為epistasis

那有辨法驗出BombayPara-bombay血型嗎?其實血庫在血型檢查時,會做所謂的forward groupingreverse groupingForward grouping就是把病人的紅血球分別與Anti-AAnti-B抗體混合,看看有沒有反應;而reverse grouping病人的血清與A型、B型及O型紅血球混合,看看有沒有反應。正常人的血清不可能與O型紅血球有反應,因為根本上不可能有所謂的「Anti-O抗體」,但BombayPara-bombay血型病人的血清中有Anti-H抗體,一樣可以與檢查中使用的O型紅血球上的H抗體產生反應。如果我們做血型檢查時,見到reverse grouping中的血清與O型紅血球有反應,就要認真想一想病人是不是BombayPara-bombay血型了。


據聞我之前提及的一段新聞中,那一對夫婦誕下的孩子正正就是有Para-bombay血型,所以才會驗出是O型血。所以血型驗親也不能盡信。