史丹福狂想曲: 那些年的會考數學

上次寫的《那些DSE同學所不知道的事－－那些年的A-level數學》出乎意料之外地受大家歡迎，多謝大家支持。我想除了是因為舊制數學令很多新制同學大開眼界之餘，更是因為那篇文章勾起了很多舊制朋友的集體回憶。今次繼續大家的集體回憶，談談舊制會考的數學及附加數學（Additional Mathematics）卷。

當年舊制我數學課程貼近今天DSE的core syllabus，附加數學則比較貼近今天DSE的M2課程。但附加數學獨立成科，比重與其他科目完全一樣，在大學計算公開試成積時也是如是，不像現在的M2只是數學的Extended module。

會考的範圍雖然比A-level淺得多，難度與今天的DSE比較接近，但只要出題者夠創意，考卷往往都會出現一些精彩有趣的題目。

首先，喜歡物理的朋友一定要看看下面一題！

(HKCEE Additional Mathematics 1987 Paper 1 Q.12)

做到part (a)的時候，你可有一絲興奮的感覺？不錯，這就是光學中的Snell's law！Fermat's principle告訴我們，光一定會選擇一條路徑令自己可以最快地到達目的地。我們只要假設題目中的人是一道光，那麼根據Fermat's principle，我們就已經導出了law of refraction！但驚喜還未完，到part (b)，我們得出sin-1 = (u/v)，這不正正就是total internal reflection的critical angle嗎？！再到part (c)，我們甚至可以得出入射角等如反射角！連law of reflection也被導出了！雖然也許很多同學做完這條題目後都不知道自己做了多厲害的事，但只要假設題目中的人不是人，而是一道光，這題題目其實已經連續幫我們導出了law of refraction、total internal reflection的critical angle及law of reflection。它簡直是神級的題目是也！

另一題目看似與上面一題類似，但做起來卻完全不同，它甚至不是一條微分題目，只是披著微分的外表而已。這題題目沒有教到我們物理的道理，卻教了我們做人的道理。

(HKCEE Additional Mathematics 1997 Paper 1 Q.13)

記得當年數學老師跟我們做完這題後，哀哀地說道：「呢題數教左我哋咩道理？啲女仔出門口前又要整頭，又要襯衫，又要化妝，吓吓都要幾個鐘先出到門口。所以要快啲見到佢哋應該點做？直接上佢屋企等啦！」

再接下來的是史丹福的all-time favourite會考數學題目一一經典的「飛機題」。它的精彩在於它可以把數學引進摺飛機這個日常生活玩意，而且它的表面「溫和」，但內裡所考的3D立體概念卻是不容小覷的。如果考生的3D思維不夠清晰，面對這條題目，大概只能仰天長嘆，兵敗如山倒。

(HKCEE Mathematics 1999 Paper 1 Q.18)

無獨有偶，附加數學卷有另一條關於摺紙的3D題目。論題目的趣味也許及不上「飛機題」，但創意在於，考卷真的給了一張紙去摺。不知道當年考試時，全場考生在摺紙會是甚麼盛況？

(HKCEE Additional Mathematics 1996 Paper 2 Q.12)

再來是一題圓弧形的行人天橋題目。把3D三角學與圓弧結合，十分精彩。記得當年做完後突然有一絲頓悟的感覺，原來圓弧是可以這樣找出來的！（題外話，小弟覺得那條行人天橋設計得很優美。）

(HKCEE Additional Mathematics 2000 Paper 2 Q.12)

又再跟大家分享一題AS-GS的題目。題目本身是非常簡單顯淺的，但它卻為我們引進了一個非常重要的數學概念──碎形（Fractal）。

(HKCEE Mathematics 1997 Paper 1 Q.15)

碎形是指一個零碎的幾何形狀，可以分成數個部分，且每一部分都近似地是整體縮小後的形狀，即具有自相似的性質。碎形幾何後來與與混沌理論，複雜性科學等新科學領域相輔相成，可以用來解釋物理、化學、生理學、經濟學、社會學、氣象學、天文學、土力學、地震學等複雜結構。

最後，讓我們看看史前（六、七十年代）的會考數學卷。須知道當年的課程完全不能與今天同日而語，number theory、set theory、binary operation，可謂無奇不有。那些九十後考公開試的朋友，就算學過A-level Pure Maths及Applied Maths，都應該未見識過這種六、七十年代的數學。以下有幾題給大家欣賞。