2016年6月29日 星期三

拉馬努金與他的神秘數學公式

近日上映的電影《數造傳奇》,講述的是一位無師自通的印度天才數學家拉馬努金(Srinivasa Ramanujan)。上映這電影的戲院不多,史丹福在上星期日post-call之後本打算走去看,感受一下大師的風采,想不到去到買票時才發現全院滿座!所以只好之後再找機會看了。

但在看電影之前,小弟還是可以跟大家分享一下他的數學遺產。

據說拉馬努金在13歲時已經自行發現了sinecosine function的無窮級數展開式(這個以前是AL Applied Maths的範圍,現在DSE課程應該已經取消了,所以年輕一輩可能比較陌生)。他本來很興奮,以為自己做到了一個偉大的大發現,但後來知道原來這個公式早已在數百年前被另一位大數學家歐拉(Leonhard Euler)所發現,他不禁大失所望。

之後在他15歲的時候,他偶爾獲得了一本叫《純粹數學與應用數學基本結果彙編》的書,該書收錄了在代數、微積分、三角學和解析幾何的5000多條公式,卻沒有給出詳細的證明。拉馬努金於是自行研究,他的數學知識基本上大部分都是從這本書中學到的。

以後,拉馬努金開始寫出自己的數學公式,而且都沒有證明的。由於他的公式比較複雜,很難跟大家解釋,小弟特意選了一條比較容易懂的,只需要初中程度的數學:



拉馬努金得出的答案是3。這裡要用到n^2=1+(n^2-1)=1+(n-1)(n+1)



另外一些他發現的較複雜公式包括:



之後,拉馬努金把他的公式寫成洋洋灑灑的九張信紙,把他寄給了當時最好的數學家之一,英國劍橋大學的哈迪(G.H. Hardy)。由於信中完全沒有任何證明,哈迪最初以為他是開玩笑的,後來才驚覺這些發現全都是對的,於是他立即把拉馬努金接到劍橋大學,給予他正式的數學訓練,而他們也成了一對研究數學的好拍擋。

拉馬努金最擅長的就是無限級數與數論。其中一個他與哈迪一起研究的傑作就是Partition Formula。何謂partition?就是用正整數相加得出某個數的方法

3為例,3=1+2=1+1+1,可以同3種方法表示(次序不同算同一方法),所以p(3)=3
至於44=1+3=2+2=1+1+2=1+1+1+1,可以同5種方法表示,所以p(4)=5
至於55=1+4=2+3=1+1+3=1+2+2=1+1+1+2=1+1+1+1+1,可以同7種方法表示,所以p(5)=7
之後的數字開始變得越來越複雜了。P(100)已經等如190569292。那再大一些呢?P(10000)是多少?數學家都無能為力了。直至拉馬努金與哈迪發現了以下的公式:



相信大家都不會看得懂這條公式,不過至少可以感受一下大師的風采。

拉馬努金是數學界少有的無師自通的超級天才,但可惜天妒英才,拉馬努金吃素,但他到英國時正值一次大戰,英國蔬菜短缺。加上英國天氣寒冷,不像印度天氣酷熱,拉馬努金很快就病倒了,醫生診斷是的到肺結核及維生素缺乏症。1919年,他決定回家,之後不到一年,他就過世了,享年32歲。他的一生雖短,卻為數學界帶來了一次轟轟烈烈的躍進。


2016年6月26日 星期日

100篇小總結

史丹福素來喜歡寫文章,開blog最初只不過是為了紀錄一下生活軼事,或是喜歡的音樂、電影、小說。後來,史丹福慢慢愛上了透過這個網誌跟大家分享一下科學知識。

因為史丹福覺得香港人比較實際,對考試不會考,或對找工作沒有幫助的知識,都提不起興趣。科學於很多人來說可能是「事不關己,己不勞心」。但事實上科學與大家生活息息相關。科學是掌管世界運作的規則,如果我們連自己的世界如何運作都沒有興趣,沒有好奇心,那不是太悲哀嗎?史丹福看不過眼人們,連基本的中學科學知識都沒有,例如警察把二氧化硅當成危險化學品,簡直是遺臭萬年。所以我就決定透過這個網誌,為推廣科學略盡綿力,與大家分享有趣的科學知識。

到現在已經是第100篇了,小弟就借這機會做個小總結。以下是小弟點擊率最高的十篇文章。

4. 《又抽血?!比你哋抽到貧血啦!》 (http://drstanford.blogspot.hk/2016/03/blog-post_10.html)
5. 《溫故知新:為什麼肥人的血脂及血糖較高?》 (http://drstanford.blogspot.hk/2016/05/blog-post.html)

至於史丹福之後有甚麼計劃?先來預告一下小弟計劃寫的題目。
1. 《神醫的煩惱》續集:當然要繼續史醫生和小晴的故事
2. 《永遠不會有抗藥性的抗生素》
3. 《不正常的紅血球》:介紹一下peripheral blood smear中的不正常紅血球
4. 《那個令人心動的時代--分子生物學》續集:雖然這個系列不算受歡迎,可能學術味道太重,但這是史丹福很有興趣的題材,所以我還是打算寫下去,之後會談MonadJacob的基因調控實驗,NirenbergMatthaei破解DNA密碼的實驗,及SequencingPCRgenetic engineering的歷史。
5. 《發現上肯粒子後,CERN還有甚麼計劃?》:主要介紹一下超對稱理論及超對稱粒子,也就是CERN未來的目標
6. 《為甚麼霍金拿不到諾貝爾獎?》:介紹霍金的黑洞理論

7. 2016年上半年我最愛的電影》

2016年6月15日 星期三

《憤怒鳥大電影》:無無聊聊,輕輕鬆鬆



電影有很多種,有些是啟發思考的深度電影,有些是刺激感觀的動作電影,而《憤怒鳥大電影》則擺明車馬是無無聊聊,輕輕鬆鬆的合家歡電影。但其實無無聊聊,輕輕鬆鬆也不代表不好看,最重要是它是否恰如其分,令大家可以好好的無聊輕鬆一下。

看這套電影,當然沒有ZootopiaInside Out的深度,但勝在夠熱熱鬧鬧,倒也令人看得很開心。

最後攻城的一幕當然非常令人興奮,且可以呈現遊戲中各種angry bird的特性,相信愛玩Angry Bird的人一定很有共嗚。但除了攻城一幕,有幾場戲史丹福都蠻喜歡的。開段綠豬「入侵」的一幕,相信香港人非常有共嗚,綠豬的所作所為,完完全全就如某種人的寫照。言談舉止,一舉一動,都同出一轍。遺憾的是,島上大部分雀鳥都要「歡迎訪客」,要「和諧」,又跟香港的不少人不謀而合。史丹福知道電影並不是刻意諷刺,但那巧合應該令不少香港人別有一番感受。

電影中的Chuck很搶戲,牠根本上就是Quicksilver吧!最後在城堡中有一幕根本上與Quicksilver一模一樣!綠豬雖然是奸角,但其實也奸得很可愛,而且電影為綠豬加入了很多彩蛋,大家可以細心留意一下,例如牠們船上有一本《Fifty Shades of Green》。

總括來說,這就是一部恰如其分的輕鬆無聊電影。如果可以放下心神,甚麼都不想地度過這個半小時,其實也不錯啊。


史丹福推介度:78/ 100

2016年6月9日 星期四

一道力學問題

今次挑戰大家的一道力學問題,一道很單純的,DSE程度的statics問題。話雖如此,真的做起來,倒也不容易。大家不妨試試誰可以想到答案。

參考下圖,一支棍子AB在一個半圓的碗子上靜止著。半圓碗子的開口向上,與水平面平行。半圓碗子的半徑是1 m。棍子與半圓碗子間的夾角是30 °。假設接觸面間沒有friction,問棍子有多長?



答案如下

參考下圖:
R1是半圓碗子在A作用在棍子的normal reactionR2是半圓碗子在C作用在棍子的normal reaction

R1指向圓心O,由於AO=CO,所以∠OAC=OCA=30 °。設棍子的重量是W,長度是l



































所以棍子的長度就是4√3/3 m

2016年6月4日 星期六

兒童發燒的謬誤

史丹福最近在兒科實習,絕大部分收入院的小孩都是因為發燒。然而不少家長似乎都對發燒認識不足,甚至存在一些謬誤。所以史丹福希望可以透過這篇文章跟大家分享一下有關小朋友發燒的基本知識。

謬誤一:「醫生,小朋友發燒呀,係咪要入醫院?」

兒童跟成人不同,他們的新陳代謝率比較高,所以比成人容易發燒,而發起燒來也容易比成人燒得高。

成人發燒一般代表敗血症(Sepsis),多數是由於細菌入血引起(當然,偶爾也可以因為其他較罕見的原因),需要用到靜脈注射的抗生素,所以需要入院。反觀,兒童發燒多數由上呼吸道的病毒感染引起,不需用到抗生素,也沒有特效藥,所以不需要入院。即使入到醫院,醫生也只可以處方退燒藥,幫小朋友退燒,等待他們自己病好。

那有沒有一些情況是需要入院呢?

有,假如醫生覺得情況嚴重,不像普通病毒性上呼吸道感染,又或是小孩有發燒性抽搐,那一般都會建議留院觀察。但兒童不同於成人,成人的話,越高燒代表病情越嚴重;而小童的病情嚴重性跟發燒的溫度關係不大,醫生考慮的是小朋友的整體狀況。假如小朋友沒有精神,「呆下呆下」,又不肯吃東西,那醫生也可能會建議留院觀察。但如果一個小孩行得走得食得瞓得玩得,即使他發高燒到39度多,醫生也會很放心讓他回家的。家長們就不需要自作多情質問醫生為何不讓他入院,或隔一會兒之後又再到另一間急症室求診,希望讓小朋友入院了。

謬誤二:「醫生,小朋友食完退燒藥,退左一陣又燒返呀,係咪要入醫院?」

這個問題有一個基本的理解錯誤。發燒是一個症狀,不是一個疾病。退燒藥是退燒的,是止症狀的。它不是特效藥,也無助於病毒性上呼吸道感染的康復,事實上世界上根本沒有一種藥物可以幫助病毒性上呼吸道感染的康復。正如之前所講,醫生可以做的就是讓小朋友自己好。

至於小朋友服完退燒藥,退燒後又再燒起來,最好的處理方法是讓小朋友多服一次退燒藥。每一種藥物都有其藥效,藥效過了就應多服一次。家長不應錯誤地假設退燒藥的藥效可到永遠,小朋友服了一次退燒藥就永遠不會再燒。其實只要感染還在,小朋友還是會再發燒的。

謬誤三:「醫生,小朋友發咁高燒,怕唔怕燒壞腦?」

發燒只是一個症狀,不是一個疾病。一般大家所說的「燒壞腦」,令智力受損,都不是因為發燒本身,而是因為感染。假如發燒是由於中央神經系統的感染,例如腦炎或腦膜炎所引起,那這個感染可以損害到神經系統,令小孩「壞腦」。但這個「壞腦」不是因為發燒引起的,所以因果關係要搞清楚。

那純粹發燒可不可以「燒壞腦」?也不是不可以,只不過非常非常罕見。假如小孩燒到42度以上,而且這樣的高溫持續34小時,傷害大腦中的體溫調控系統,那才可以「燒壞腦」。而一般的感染是接近不可能燒至42度以上的。

分享完幾個常見的謬誤,最後想談一些生物科學知識。

其實發燒對身體有甚麼用呢?原來與淋巴細胞(lymphocytes)有關。淋巴細胞是一種免疫細胞,幫助我們對抗病菌。而淋巴細胞與病菌的主要戰場就是淋巴核(lymph nodes)。假如多些淋巴細胞可以走進淋巴核,那對抗病菌的能力自然較高。淋巴細胞是透過CCL21受體,去穿過high endothelial venules這道通往淋巴核的通道,進入淋巴核。科學家發現發燒會增加淋巴細胞,特別是T細胞表面的CCL21受體,令它們更易穿過high endothelial venules,進入淋巴核。淋巴核的淋巴細胞增多,自然可以更有效與病菌作戰。



除了淋巴細胞外,發燒也會增強其他的免疫細胞,例如透過增加腸藏分泌G-CSFIL-17IL-1去刺激骨髓釋放嗜中性粒細胞(neutrophils);增加巨噬細胞(macrophages)的TLR2TLR4MHC class I and class II moleculesco-stimulatory molecules等受體,增強它們吞噬病菌的能力。



它們的原理比較複雜,史丹福就不多解釋了,有興趣的朋友可以參考這篇很好的Nature ReviewFever and the thermal regulation ofimmunity: the immune system feels the heat

所以也許,發燒也並不是一般家長所想的那樣令人望而生厭,甚至有研究([1], [2] )顯示發燒病人來說,退燒藥可以增加他們的死亡率。

[1] Earn, D. J., Andrews, P. W. & Bolker, B. M. Population-level effects of suppressing fever. Proc. Biol. Sci. 281, 20132570 (2014).


[2] Schulman, C. I. et al. The effect of antipyretic therapy upon outcomes in critically ill patients: a randomized, prospective study. Surg. Infect. (Larchmt) 6, 369–375 (2005)