2020年12月30日 星期三

X光片中的聖誕

 史丹福每年聖誕都會介紹一個與節日相關的題目,除了之前在《Twelve days of Christmas與聖誕襪定理》中介紹了一條有趣的聖誕數學題外,史丹福打算再介紹一下與聖誕相關的另一主題--與聖誕相關的診斷放射學特徵。

雖然這文章來得有點遲,不過史丹福與Peaches還是希望大家有個快樂的聖誕,並且有一個美好的2021年。香港人加油。

雖然香港的聖誕不會下雪,不過一提起聖誕,大家難免會想起浪漫的飄雪。

診斷放射學中亦有所謂的「雪人徵」(snowman sign),它是腦下垂體巨腺瘤(pituiary macroadenoma)在做影檢查中的特徵。因為這腫瘤較軟,容易被一個名叫蝶鞍膈(diaphragma sella)的組織所擠壓,形成一個8字形的模樣,就仿似一個雪人一樣。這個特徵可以幫助我們分辨腦下垂體巨腺瘤與其他腫瘤,如腦膜瘤(menigioma)。


「雪人徵」(來源:Radiopaedia)



另一個與雪有關的X光片特徵是「雪冠徵」(snowcap sign),它會在缺血性壞死(avascular necrosis),俗稱「骨枯」的骨骼中出現。肱骨(humerus)或股骨(femur)的頭壞死了,在X光片下就會呈現成白色的不透光的樣子,就像是山頂的積雪一樣。



「雪冠徵」(來源:Radiopaedia)

提起聖誕,當然不得不提聖誕樹。大家覺得下面X光片的圖案像聖誕樹嗎?


「聖誕樹徵」(來源:Radiopaedia)


在診斷放射學中,這個現象被稱為「聖誕樹徵」,它是神經性膀胱(neurogenic bladder)的特徵。神經性膀胱大多由脊髓受損引起,脊髓神經的問題令病人無法正常排尿,於是尿液滯留在膀胱內。尿液滯留令膀胱伸長,膀胱壁變厚,在X光片中就會呈現出聖誕樹般的模樣。

西方人習慣在聖誕節以冬青葉做花圈作裝飾,而診斷放射學中亦有所謂的「冬青葉徵」(holly leaf sign),它是胸膜斑(pleural plaques),即纖維化及變厚了的胸膜的特徵,常於石棉沉着病(asbestosis)的患者中出現。胸膜斑有結核狀nodular的不規則邊界,就如冬青葉一樣,因而得名。


「冬青葉徵」(來源:Radiopaedia)


大家又覺得以上幾個X光中的現象有沒有聖誕氣氛呢

 

資料來源

  1. https://radiopaedia.org/
  2. Wiles, R. J., Gulati, A., Dwivedi, R., Avula, S., Curtis, J., & Abernethy, L. (2013). We wish you a merry x-ray-mas: Christmas signs in radiology. Bmj, 347(Dec17 4).

2020年12月24日 星期四

Twelve days of Christmas與聖誕襪定理

又到聖誕,今年的聖誕份外冷清,不過偶爾聽到聖誕歌聲在風中飄蕩,依然可以令人感到節日的溫暖。

 

相信大家都聽過著名的聖誕歌《Twelve days of Christmas》。歌詞講述主角的至愛在聖誕的第一天送了他1隻梨樹上的野雞;第二天送了他1隻梨樹上的野雞再加2隻斑鳩;第二天送了他1隻梨樹上的野雞加2隻斑鳩再加3隻法國母雞,如此類推。聖誕的第n天就送他1 + 2 + 3 + ... + n份聖誕節禮物,直到第12天。 12天,他得到了1隻梨樹上的野雞、2隻斑鳩、3隻法國母雞、4隻鳴唱的鳥兒、5隻金戒指、6隻鵝蛋、7隻游泳的天鵝、8位擠奶的女傭、9位跳舞女士、10位歡呼跳躍的天神、11位吹笛的風笛手、12位擊鼓的擊鼓手。

 

這聖誕歌其實也可以引伸出一個有趣的數學問題,就是主角在這12天內共收到多少份禮物呢?

 

這是一題簡單的數列問題,大家用算術數列和及平方和的公式可輕易求得:




不過,just because it’s Christmas,我們不妨試一個更有聖經氣氛的數學方法。 史丹福曾在上年的聖誕介紹過有關柏斯卡三角(Pascal triangle),的「聖誕襪定理」(Christmas stocking theorem),這定理又被稱為「曲棍球棒定理」hockey stick theorem。該定理指出

 




另外,我們也可以利用二項式項數(binomial coefficients)中nCr = nCn-r的特性把公式寫成

 




這些數字在柏斯卡三角中就如一對聖誕襪。

 


以上圖為例,數列的形象顯示了:
1 + 4 + 10 = 15
1 + 8 + 36 + 120 + 330 = 495
1 + 7 = 8

形象就像是聖誕襪一樣。

大家留意到,在柏斯卡三角中,第n + 1行的第3個數,其實就代表nC2,即n (n - 1) / 2 = (n - 1)[(n - 1) + 1] / 2,也就是第n – 1 天收到的禮物數量。因此主角共收到的禮物數量是:

 



「聖誕襪」的形狀就是這樣:


 

也就是說,主角如果在聖誕收到禮物後如果每天拆一份禮物,364天就剛好拆完,然後又可以迎接下一個聖誕。

2020年11月6日 星期五

牽一髮動全身:2019冠狀病毒病與血液學

起源於中國武漢的2019冠狀病毒病(Coronavirus disease 2019,簡稱COVID-19,中國稱之為「新冠肺炎」,香港及台灣的坊間亦有不少民眾俗稱它為「武漢肺炎」)由SARS-CoV-2病毒引起,並已在全球做成了重大的人命傷亡。病毒與肺炎的關係早已深入民心。但正所謂「牽一髮動全身」。2019冠狀病毒病雖然主要影響肺部,但其實病毒亦會攻擊身體的其他組織或器官。大家又知不知道新型冠狀病毒會怎樣影響血液呢?


全血細胞計數


讓我們從最基本的全血細胞計數(complete blood count,簡稱CBC)說起。

淋巴球低下(lymphopenia)是2019冠狀病毒病的常客,可以就是「老是常出現」。不同的報告顯示有35-83%的病人都會有淋巴球低下,而且淋巴球低下與病情的嚴重程度相關,例如需要在深切治療部留醫的病人的淋巴球數量比不需要的病人顯著地低。為何如此呢?科學家推測這與淋巴球表面上的ACE2受體有關。這個受體是SARS-CoV-2病毒的「私家通道」,病毒就是靠它走進細胞內。淋巴球上有這受體,病毒可以「直搗黃龍」,輕易走進細胞內攻擊。這就解釋到為何淋巴球特別容易受2019冠狀病毒病影響。

除此之外,嗜中性白血球增多(neutrophilia)與血小板減少都是2019冠狀病毒病病人中常見的現象。病人的血小板雖然會減少,但卻甚少低於100 x 109。中國武漢的報告顯示只有5%在深切治療部留醫的2019冠狀病毒病病人有低於100 x 109的血小板水平。

最後,2019冠狀病毒病似乎甚少影響紅血球,因此貧血並不是一個常見的現象。


血細胞


血液病理學家都總對血細胞形態有種難以言喻的喜愛與執著,史丹福自然也不例外。如果我們把2019冠狀病毒病病人的血液放在顯微鏡下,又會有何發現呢?

義大利及美國等多個團體都作過研究,他們分析了2019冠狀病毒病病人的周邊血液抹片後,發現血液中常出現分葉(hypolobated)的嗜中性白血球。正常的嗜中性白血球細胞核約有34個分葉,但那些異常的嗜中性白血球則只布兩個,甚至完全沒有分葉,這個現象叫做「獲得性培修二氏異常」(acquired Pelger-Huet anomaly)。美國的一份報告就指出有一半的病人的血液中都有超過10%的異常嗜中性白血球。這現象在類似的「沙士」病人中並沒有出現,因此令血液學家很感興趣。有人推斷這是因為SARS-CoV-2病毒可以令到LBR基因突變,這個基因負責維持嗜中性白血球細胞核的正常形狀。另外一個猜想是這些異常的形態是細胞凋亡(apoptosis)前的轉變。事實上,2019冠狀病毒病病人的周邊血液抹片亦較常出現凋亡了的嗜中性白血球。

另外值得留意的是,病人的嗜中性白血球除了細胞核變化外,它們的細胞質中亦有顆粒的異常,例如邊沿的地方出現顆粒減少,變成淡淡的灰色。


低分葉及顆粒異常的嗜中性白血球

在接受了抗病毒治療的一至兩星期後,患者的嗜中性白血球形態會回復正常。之後血液中的淋巴球數量會回升,但其中會有些非典型淋巴球(atypical lymphocytes)、漿細胞狀(plasmacytoid)的淋巴球及大顆粒淋巴球(large granular lymphocytes)。

 

凝血

 

但臨床上影響最深遠的血液問題莫過於,2019冠狀病毒相關的凝血病變,患者的PT會延長,APTT亦稍微延長。有趣的是,雖然患者的PTAPTT 延長,但他們不但不會流血,而且更有很大機會得到血栓。

法國有一個研究顯示,在需要照電腦斷層肺血管攝影(CT pulmonary angiogram)的新型冠狀病毒肺炎患者中,有近三分之一都有肺栓塞(pulmonary embolism),比非患者的11%高很多。類似地,荷蘭的研究顯示,在深切治療部留醫的2019冠狀病毒病患者中,有31%都有肺栓塞或深層靜脈栓塞(deep vein thrombosis)等的血栓問題。

為甚麼會如此呢?醫學界暫時都不完全清楚,但他們推測可能是與病毒直接攻擊血管、細胞因子(cytokine)激活凝血路徑、凝血因子VIII及溫韋伯氏因子(Von Willebrand factor)上升等因素有關。

由於患者得到血栓的機會非常高,國際血栓與止血學會(International Society on Thrombosis and Haemostasis)發佈的新指引建議因2019冠狀病毒病入院的患者應接受抗凝血學藥物肝素(heparin)去預防血栓。輸血小板及血漿都可以增加患者得到血栓的風險,所以除非患者出現流血,否則即使病人有低血小板及PTAPTT 延長,我們亦不宜用輸血的方法去改正。

 

總的來說,有關2019冠狀病毒病的新研究如雨後春筍般湧現,醫學界對這疾病的認識越來越深。但願這些新發現可以幫助我們更好地應對疾病,造福病人。

 

資料來源:

1. Nazarullah A, Liang C, Villarreal A, Higgins RA, Mais DD. Peripheral Blood Examination Findings in SARS-CoV-2 Infection. Am J Clin Pathol. 2020;154(3):319-329.

2. Zini G, Bellesi S, Ramundo F, et al. Morphological anomalies of circulating blood cells in COVID-19. Am J Hematol. 2020.

3. Agbuduwe C, Basu S. Haematological manifestations of COVID-19: From cytopenia to coagulopathy. Eur J Haematol. 2020.

2020年10月16日 星期五

諾貝爾獎特寫:緝捕肝臟的隱形殺手

 

今屆諾貝爾生理學或醫學獎的三位得獎者(來源:https://www.nobelprize.org/)

今年的諾貝爾生理學或醫學獎在上星期公佈。得獎者是三位發現丙型肝炎病毒的科學家阿爾特(Harvey J. Alter)、賴斯(Charles M. Rice)及霍頓(Michael Houghton)。

丙型肝炎病毒是一種神秘的隱形殺手,它只會引起輕微的急性病徵,但可怕的是,它會潛伏在體內慢慢地破壞肝臟。接觸到丙型肝炎的病人,有近80%都會出現慢性感染,這個比率要比乙型肝炎的3%高得多。慢性丙型肝炎的患者約有三分之一會在20年內得到肝硬化,另外三分之一會在30年內得到肝硬化。肝硬化的病人會出現腹水、脾臟腫大、食道出血等病徵,得到肝癌的機會也會大大增加。

那這無聲無色的隱形殺手究竟是怎樣被發現呢?

 

從輸血後肝炎說起

 

原來丙型肝炎病毒的發現也與我們的老朋友輸血有關。

早在1943年就曾經有文獻報告過七位病人在接受過全血或者血漿之後的一至四個月內出現黃疸。由於當中的四位病人都接受過大容量的血漿,這似乎顯示受血者接受過越多來自不同捐贈者的血液成份,之後出現黃疸的機會就越高。其中一個解釋就是黃疸是由一種潛伏期長,可以引起肝炎的病毒引起。

值得一提的是,早在1964年,當醫學界尚未知道輸血後肝炎因何而起時,輸血醫學界已經發現了有效地減少輸血後肝炎的方法。他們發現美國波士頓的受血者出現輸血後肝炎比例較低,進一步的調查發現波士頓地區不容許商業捐血,也就是說捐血者必須完全出於自願,不可有任何報酬。原來這麼簡單的方法已經可以有效地增加輸血的安全性。直到現在,「無償捐血」仍然是輸血界的金科玉律。

言歸正傳,有關輸血後肝炎的首個突破性發現布倫柏格Baruch S. Blumberg1965年發現「澳洲抗原」Australia antigen。他發現某些澳洲土著的血清可以與紐約一位血友病患者的血清產生反應。由於血友病患者需要長期接受輸血,所以他們體內很容易產生不同的抗體。這次的反應應該也是因為血友病患者血清中的抗體與澳洲土著血清中某種未知的抗原引起,因此布倫柏格就把抗體命名為「澳洲抗原」。

布倫柏格的發現由起了很多研究團隊的注意。他們都懷疑這抗原可能來自某種已知疾病的病原體。1967年,「澳洲抗原」的真身終於曝光,它是引起血清性肝炎日後改稱乙型肝炎的病原體上的抗原,今天我們稱之為乙型肝炎表面抗原hepatitis B surface antigen,簡稱HBsAg。「澳洲抗原」與輸血後肝炎有密切的關係,1970年的報告就顯示按受過「澳洲抗原」陽性的血液者,有高達74%都會出現肝炎發者抗體反應。1972年,美國食品及藥物管理局Food and Drug Administration,簡稱FDA就要求所有輸血用的血液必須先接受「澳洲抗原」的檢測。發現「澳洲抗原」的布倫柏格亦於1976年獲得諾貝爾生理學或醫學獎。

我們的主角之一阿爾特亦曾與布倫柏格合作過去進行「澳洲抗原」的研究,之後他到了美國國立衛生研究院National Institutes of Health的輸血醫學部,繼續對輸血後肝炎進行研究。「澳洲抗原」的發現引起了不少研究團隊對乙型肝炎病毒與輸血後肝炎關係的研究,他們發現即使排除了乙型肝炎表面抗原陽性的輸血者,亦只能防止20%的輸血後肝炎,也就是說有80%的輸血後肝炎都與乙型肝炎病毒無關。1973年,兩位美國國立衛生研究院的科學家憑新的免疫電子顯微鏡技術發現了甲型肝炎病毒。阿爾特立即進行進一步研究,並發現輸血後肝炎與甲型肝炎亦無關係,於是他就把這種未知的肝炎稱為「非甲非乙型肝炎」non-A non-B hepatitis。像乙型肝炎一樣,這種新發現的疾病可能通過受感染的血液傳播,並可能導致慢性感染和肝硬化。然而,這種慢性疾病在成年人身上出現的機率遠高於乙型肝炎,而且患者很少出現急性症狀。

在接下來的15年裏,這種疾病背後的罪魁禍首一直不爲人知,但卻一直嚴重地危害著輸血的安全性。科學家一直對非甲非乙型肝炎束手無策,不過阿爾特發現非甲非乙型肝炎可以感染黑猩猩,為科學家提供了一個動物模型去作研究。

 

黑猩猩中的發現

 

1987 年,生物技術公司奇龍公司(Chiron Corporation)的科學家霍頓就利用了黑猩猩的血液作出了有關非甲非乙型肝炎的突破性發現。他與台灣裔科學家郭勁宏及新加玻裔科學家朱桂霖及美國疾病管制與預防中心(Centers for Disease Control and Prevention,簡稱CDC)的布雷德利布拉德利(Daniel W. Bradley)合作,行用全新的分子生物學技術去研究受感染黑猩猩血液中的核酸片段。理論上,黑猩猩血液中的核酸片段當然來自黑猩猩本身,但如果黑猩猩感染了病毒,血液中就會有額外非屬於黑猩猩的核酸片段。霍頓團隊的目標就是在大量的黑猩猩核酸片段中「眾裡尋她」,找出多出來的核酸片段。他們使用了新式的免疫分子生物方法,利用血漿中提取出的RNA製成互補DNAcomplementary DNA,簡稱cDNA),再把它轉移到細菌中。細菌會利用DNA製造出蛋白質。霍頓再把染上非甲非乙型肝炎人類患者的血漿與細菌蛋白質混合。患者的血漿中應該有對抗病毒的抗體,可以與病毒抗原反應。在測驗了百萬個细菌菌落後,霍頓終於發現了帶有病毒蛋白質的菌落。進一步的工作表明,這病毒是一種屬於黄病毒科(Flaviridae)的新型RNA病毒,團隊把它命名為丙型肝炎病毒。

 

病毒真的可以引起肝炎嗎?

 

霍頓終於發現了丙型肝炎病毒,但這個謎題未被解決,就是這病毒是否真的可以單獨引起肝炎呢?你們可能覺得很這很簡單,把染有丙型肝炎病毒的黑猩猩血液打入另一隻健康的黑猩猩中,再看看牠會否染上肝炎,不就可以嗎?這個做法的問題在於我們無法知道血液中有沒有另一些我們未知的物質或病毒影響結果。為了解決這問題,科學家必須證明丙型肝炎病毒能夠複製並引起疾病。

華盛頓大學聖路易斯分校的科學家賴斯及其他研究RNA病毒的小組注意到,丙型肝炎病毒基因組3’端有一個未被識別的高度保守序列,他推測這區域對病毒的複製很重要。賴斯把擁有這3’區域的RNA注射到黑猩猩的肝臟,但仍然找不到病毒複製的跡象。賴斯再接再厲,他意識到丙型肝炎病毒基因組中某些基因突變可以令病毒失活,於是他又製造了一個擁有這3’高度保守序列,同時沒有失活基因突變的RNA,然後再把它注射到黑猩猩的肝臟。這次他終於成功了!黑猩猩出現了肝炎的病徵,之後黑猩猩的血液中更出現了丙型肝炎病毒。憑著這個傳染性病毒基因組,賴斯提供了明確的證據去證明丙型肝炎病毒可以單獨引起肝炎。他的研究亦有助科學家更明白病毒複製的機制,並研發藥物去抑制它。

 

新療法


丙型肝炎病毒的傳統療法是使用干擾素(interferon)與利巴韋林(ribavirin)。大家可能都對這兩種藥物略有所聞,因為它們亦被用於治療起沿於中國武漢的新型冠狀病毒肺炎。

然而,某些丙型肝炎病毒的基因組對對干擾素治療的抵抗力很高,令療效欠佳。不過近年科學家又研究出新類型的抗丙型肝炎病毒藥物,並在2011年起陸續推出市場。這些藥物都是針對病毒複製時所需要用到的蛋白酶,例如抑制NS3A/4A的特拉匹韋(telaprevir)及波普瑞韋(boceprevir)、抑制NS5B的索非布韋(sofosbuvir)及達薩布韋(dasabuvir)、抑制NS5A的雷迪帕韋(ledipasvir)及達卡他韋(daclatasvir)等。患者完成新藥物療程後,有九成多的機會達到持續病毒反應(sustained viral responseSVR),也就是說血液中再偵測不到病毒RNA。理論上,病毒可以說是被徹底清除。

尚記得當年這些新藥的研究結果出爐時,史丹福還是位醫學生。但我們的肝科教授黎青龍教授立即興奮得要加堂去為我們講解這最新的發現。黎教授的熱情令我對這幾款新藥的印象非常深刻。當年這藥物非常昂貴,黎教授又笑說「即使藥掉了進馬桶都要拾起來吃」(由於史丹福被非於肝科工作,所以不清楚新藥現在的價錢)。

總的來說,丙型肝炎的研究從輸血開始,到時在已經走過了近八十年的漫長道路。三位諾貝爾得獎者成功找到了引起輸血後肝炎的罪魁禍首,幫助研發出有效的療法,拯救了無數病人的生命。他們的得獎是實至名歸,當之無愧。

 

資料來源:

1. Wong, D. T., & Jain, D. (2014). Historical path of discovery of viral hepatitis and the role of human experimentation. Pathology, 46.

 2.  Wang, L. S., D'souza, L. S., & Jacobson, I. M. (2016). Hepatitis C-A clinical review. Journal of Medical Virology, 88(11), 1844–1855.

2020年9月25日 星期五

《幻愛》:本土電影的巔峰之作

 


有人說,《幻愛》是香港近十年來最佳的愛情電影。史丹福覺得,這根本就是近十年來最佳的本土電影。《幻愛》這電影,從劇本、導演,到演員、攝影、配樂,全都是一流的水平。

《幻愛》劇本的水平奇高,簡直是無可挑剔。

史丹福一直覺得,單靠動作特技,香港很難與荷里活,甚至是鄰近的南韓或中國比較。如果強行追求大製作,就一定要走合拍片的路線,並為求遷就別國的市場而加入非本地人喜歡的元素,影響觀感。既然如此,本土電影最好的突圍方法就是以劇本取勝。

《幻愛》的劇本是以心理精神主題配合愛情,本身已經非常新穎。更厲害的是,本片的走向完全顛覆觀眾的預期。單看故事的簡介,這是一個有關精神病人的愛情故事,最千篇一律的公式化做法就是精神病患者談了場甜蜜的戀愛,然後到結局發現一切都是幻覺,就像是「愛情版」的《不赦島》般。但《幻愛》的故事不走俗套,精神病只是一個包裝,故事的核心卻是一段甜蜜溫馨、刻骨銘心的愛情故事。不過因著這個精神病的設定,電影也更添劇力,如數場心理治療就有著攝人心魂的壓迫感,然而這也成了男女主角互相了解,發展感情的契機。電影不斷以這張弛有道的手法,時而陰暗,時而懸疑,時而甜蜜,高低起伏,令人心內有如五味翻騰。單以劇本來說,這絕對是本土電影十年來最佳的劇本。

但好的劇本都要有演員、攝影、配樂等的配合才能成事。難得的是,本作的一切都互相配合得天衣無縫。

兩位新人主角的表現非常亮麗。男主角劉俊謙完全掌握到那種既想愛,又不敢愛;既期待,又怕被傷害的矛盾。女主角蔡思韵則要演活兩種截然不同的性格,一方面活潑開朗,另一方面冷靜專業,神秘陰暗。值得留意的是,兩位演員都曾在ViuTV,如劉俊謙參與過《二月廿九》及《瑪嘉烈與大衛 前度》,蔡思韵更與陳奕迅合作過《短暫的婚姻》,以上幾套都是我很喜歡的劇集。

《幻愛》其中一個令人津津樂道的其極為純愛的感覺,我覺得攝影與配樂都絕對功不可沒。在電影的鏡頭下,就算一個平凡的場境都美得如夢如幻,如詩如畫,再配合充滿浪漫感覺的配樂,難怪有人說這電影美得就如日本的純愛電影般。不過在一些充滿劇力的場面中,鏡頭又可以作出巧妙的調度,增添壓迫感。

而把一切元素連繫起來的是導演周冠威。周冠威之前曾執導過《十年》,是香港人必看的電影之一。今次《幻愛》就是沿自導演多年前拍的短片《樓上傳來的歌聲》。導演的導技之高,令人讚嘆。但令的更欣賞的是他對本土的熱愛,現時不少電影因要進軍中國市場,又或接受中國資金,唯有接受審查,這不是本土電影。他說過「需要進入大陸市場就必須被審查。我不能考慮大陸市場,亦不會考慮。」

最後值得一提的是,《幻愛》把屯門拍得美侖美奐,令到香港近期掀起一陣屯門的熱潮。原來我們所住的城市是很漂亮的(雖然入面住了很多醜陋的人與blue object…),只是大家平時沒有發現到。在疫情影響下,大家都不能外遊了。趁這段時間,發掘一下本土的美景,亦不失為一件樂事。

總的來說,《幻愛》絕對是近十年來史丹福最愛的本土電影。電影的本土味濃,劇本精彩,演員出色,拍攝優美。其實我都想不到甚麼缺點。史丹福強烈建議大家觀看,甚至二刷也絕不為過。


史丹福推介度:88/100

2020年9月5日 星期六

極權下的數學--莫斯科國立大學的「棺材數學題」

 

極權政府為了欺壓人民,往往無所不用其極,從國家安全、國旗、國歌,到防疫、網絡版權、國民教育、洗頭艇,全都可以是極權政府的工具。但大家又有沒有想過連數學都可以被極權政府用來對付國民?

話說在上世紀7080年代,前蘇聯最好的大學數學系位於莫斯科國立大學。整個莫斯科就只有這所大學的數學力學系提供純理論數學的課程。因此想投身數學研究的蘇聯學生都會以考進這所大學為目標。然而,蘇聯自史太林管治起已經對猶太人相當不友善,這位獨裁者在晚年更加變本加厲,把迫害猶太人變成國家的政策之一。雖然蘇聯未至於納粹德國般殺猶太人,但在國家的政策下,猶太人仍然要受到種種不公平的對待。例如猶太學生幾乎是不可能考進莫斯科國立大學的。

莫斯科國立大學數學力學系頑固執行種族歧視政策,並有一套獨特的方法去篩走猶太學生,就是利用特別設計的數學入學試難題。這些數學題其本上並不是用來考核學生的能力,純粹是為了為難學生,有人就把這些題目稱為「棺材數學題」。但為了避免被人投訴,「棺材數學題」特意設計成看似很簡單,只用初等的數學語言就可以表達清楚,答案同樣也是看似很簡單,只用初等的數學技巧就可以解決。但這些問題其實非常巧妙,考生需要有極強的洞察力才可以解答得到。每當有人投訴考試不公平,考官就可以冠冕堂皇地把答案展示給投訴者,然後再嘲笑他們,「看,這題目多麼的簡單,是你學藝未精,連如此簡單的問題都解不到,我們學系才不收你啊!」這簡直是指鹿為馬。可惜的是,各式各樣的「指鹿為馬」到今天仍然經常在極權下出現。

更要命的是,這些題目是以口試形式來考學生的,也就是說考生不可以冷靜地慢慢思考,而是要即時給出答案,但「棺材數學題」是非常難以在短時間內想到的答案的。如果考生成功解答得到,考官又會即時轉另一條題目,不斷疲勞轟炸,直至考生答不到為止。

雖然「棺材數學題」的出現是沿於欺壓人民的極權,但單純從數學的角度來說,這些題目的確是很具學習價值的好題目。史丹福就在此分享幾題較簡單的「棺材數學題」,大家不妨試試。記得要先自己試算一下才看答案啊。如果直接看答案,你可能會誤以為它們是很簡單直接的題目,只有自己落手試試,才能領悟到其「棺材」之處。


  1. log23log35,那個較大?(當然不可以用計算機)
  2. 給予兩條平行線段,在只用直尺的情況下把其中一條等分成六份。
  3. 在一圓形中,K是弦AB的中點。MNST是通過K的弦。MTAB相交於PNSAB相交於Q。證明KP = KQ





  4. 找出所有符合以下特性的函數F(x) : R à Rx1, x2 R, F(x1) – F(x2) ≤ (x1 – x2)2
  5. 四個互相相切的圓形中,其中三個的圓心共線。第四個圓的半徑為r,其圓心與線的距離為x。以r表達x



 

大家落手試了問題嗎?解答得到嗎?

 

以下是答案:



  1. 設兩條平行線段分別是l1l2,其中l1l2長。設l1的頂點為ABl2的頂點為CD。我們先證明我們可以把l2等分成兩分。連接ACBD,令它們的延線相交於E。連接ADBC,設它們相交於F。連接EF,使EF的延線與AB相交於GG就是AB的中點。我們可能繼續用同樣的方法,把AB線段等分成四份,再等分成八份。





  如下圖所示,使ACA6D的延線相交於H。把HA1A5相連,這5條線就可以把l2等分成六份。

 



3. 這是大名鼎鼎的幾何定理--蝴蝶定理(Butterfly theorem)。如果考生對歐氏幾何有深入認識,並早已學習過這定理的證明,那自然會解答得到。否則要獨立地自己想出證法,應該是非常困難





NSK = TMK
SKN = MKT
ΔNSK ~ ΔTMK
KS/SN = KM/MT

EF分別為SNMT的中點。
KS/SE = KM/MF
ESK = FMK
ΔESK ~ ΔFMK
SEK = MFK

O是圓的圓心。
OKQ + OEQ = 90o + 90o = 180o,因此OKQE共圓。同樣地,OKP + OFP = 90o + 90o = 180o,因此OKPF共圓。
KOQ = ∠SEK = MFK = KOP
OP = OQ
ΔOPQ是等腰三角形,OK是垂線。根據等腰三角形的性質,KP = KQ

 

4.

F(x)必為一常數函數。

5. 大家覺得這個四圓構圖是否有點熟口熟面呢?史丹福曾經在舊文章《日本寺廟幾何學》中介紹過笛卡兒在1643年提出的笛卡兒定理(Descartes' Theorem)。該定理指出對於四個互相交接於一點,而四個圓形的半徑分別是r1r2r3r4,那麼


幕府時期的日本人也獨立於西方自己研究出這定理,他們更利用這定理解開了不少寺廟幾何學題目。我們也不妨利用一下這定理去計算這「棺材數學題」。


C1的半徑為1C2C3的半徑分別為a1-aC4的半徑是r


經過一點運算之後應可得到a (1 - a) = r / (1 + r)

接著我們考慮ΔO2O3O4。三角形的面積是(O2O3) x/2 = [a + (1 – a)] x/2 = x/2。但我們同時可以用海龍公式(Heron’s formula)去求面積。O2O3 = 1O2O4 = a + rO3O4 = 1 - a + r



大家看完答案後就會明白,「棺材數學題」其實並不牽涉太高深的數學。除了笛卡兒定理,其他問題使用的定理與技巧都只是標準高中程度的數學。大家甚至可能會誤以為問題浪得虛名,不見得太難,但其實這正是題目的厲害之處。這樣大學就可以名正言順地貶低猶太學生的數學能力,理直氣壯地不收他們。

猶太裔數學家弗倫克爾(Edward Frenkel)是加州大學柏克萊分校數學系教授。他是位表示論、代數幾何與數學物理學的專家,數學功力絕對不容小覷。不過他不幸地生於前蘇聯,小時候就曾經受到這些「棺材數學題」的摧殘,結果不能考上莫斯科國立大學,只可以在次一等的學校中攻讀數學。他後來在訪問中表示,這些「棺材數學題」最可怕的地方不在阻止學生升上心儀大學,而是在於撤底地摧毀學生的自信心。大學入學試令弗倫克爾大受打擊,他更一度以為自己的數學知識真的次人一等,不配進行高等的數學學術研究。他寧願大學直接地告訴他,大學不收取他是因為他的猶太血統。那麼他至少可以知道自己考不進莫斯科國立大學只是制度的不公,與自己的能力無關。幸好弗倫克爾之後重拾信心,並且頑強對作出抵抗。他偷入莫斯科國立大學旁聽,並在地下學術刊物中發表自己的研究。結果得到了美國哈佛大學賞識,邀請他赴美深造,最後獲得了哈佛大學的博士學位,並成一位出色的數學家。

「棺材數學題」與弗倫克爾的故事告訴我們,在面對極權的壓迫時不要放棄,只要繼續相信自己,繼續做對的事,終有一天可以戰勝不公,贏得公義。