2020年6月24日 星期三

愛因斯坦利用相對論證明了畢氏定理?!


某鄰近強國出版的一本數學教科書指愛因斯坦利用相對論中的質能方程e=mc2證明畢氏定理,其荒謬程度不下於香港的某議員提議蒸口罩重用。不過為了避免該國人民特別脆弱的自專心,史丹福還是不多批評了。我只想藉此機會與大家分享一下愛因斯坦與畢氏定理的故事,順道與大家分享8個不同的畢氏定理的證明。




畢氏定理現有超過350個不同的證法,不少人都相信它是現存有最多不同證明方法的數學定理。其中一個方法是由物理學天才愛因斯坦於12歲時提出的。他的證明如下:

參考下圖的直角三角形ABC



AD為三角形的垂線。
考慮ΔABCΔACDΔCBD
ACB = ADC = CDB = 90o
ABC = ACD = CBD
BAC = CAD = DCB
所以ΔABC ~ ΔACD ~ ΔCBD (AAA)
三個三個形的線性比例是AB:AC:CB = c:b:a
面積比例是線性比例的平方,所以等如c2:b2:a2
ΔABCΔACDΔCBD的面積分別是kc2kb2ka2ΔABC的面積顯然是ΔACDΔCBD面積的和。
kc2 = kb2 + ka2
a2 + b2 = c2
這就是大家熟知的畢氏定理!愛因斯坦真不愧是世上少有的天才,在還是小孩的時候已經發現到一個如此優雅簡潔的證明。

至於鄰近強國的教科書為何會荒謬地指愛因斯坦利用質能方程證明了畢氏定理呢?明明這證明與相對論一點關係都沒有。有心水清的網民就發現這有可能是翻譯出錯的結果。也許教科書翻譯外國文章時卻把當中出現的e=mc2誤認為是質能方程。該文章用e來代表面積,用m來表達比例常數(也就是我們用的k)。但鄰近強國教科書的編輯卻先入為主地卻把這方程當成質能方程。



正如之前所說,為了避免該國人民特別脆弱的自專心,史丹福還是不多批評了。畢氏定理作為現存有最多不同證明方法的數學定理,有很多的證明都非常簡單而美麗,就讓史丹福與大家分享愛因斯坦證法之外的另外8種證明方法。

證法1

這個證法同樣利用相似三角形的特性。我們再次利用之前的圖形。
ΔABC ~ ΔACD ~ ΔCBD
AD/ AC = AC / AB
所以AD = AC2 / AB,同樣地AD = CD2 / AB

AB = AD + BD = AC2 / AB + CD2 / AB
AB2 = AC2 + CD2
a2 + b2 = c2

證法2

這證法應該是其中一個最常在中學教科書中出現的證法,大家當年學習畢氏定理時應該就見過了。其實中國西漢時期出現的《周髀算經》已經出現了這證法,所以也有人稱之為「中國證法」。



參考下圖,大正方形的面積是小正方形與四個直角三角形面積之和。



(a + b)2 = c2 + 4 (ab/2)
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
a2 + b2 = c2

證法3

這證法都是由《周髀算經》中引伸出來的,與之前證法類似。

參考下圖,大正方形的面積是小正方形與四個直角三角形面積之和。



c2 = (a - b)2 + 4 (ab/2)
c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ab
a2 + b2 = c2

證法4

這是幾何學大師歐幾里德於其曠世巨著《幾何原本》中使用的證明。其實比起本文中的其他證法。不過既然是經典中的經典,我們自然不能不提。

參考下圖的直角三角形ABC,其中角C是直角。以ABBCCA為邊各劃一個正方形。



考慮ΔAGBΔACD
AG = AC
AB = AD
GAB = CAD = CAB + 90o
ΔAGB ΔACD (SAS)
正方形ACFDΔAGB有相同的底,ΔAGB的高等如ACFD的邊長,所以ACFD的面積是ΔAGB面積的兩倍。同樣地,長方形ADJK的面積是ΔACD面積的兩倍。但ΔAGBΔACD有相同的面積,所以正方形ACFD與長方形ADJK有相同的面積(橙色)。同樣地,正方形BHIC與長方形BKJE有相同的面積(綠色)。
ADEB的面積 = ADJK的面積 + BKJE的面積 = ACFD的面積 + BHIC的面積
a2 + b2 = c2

證法5

證法5是一個總統級的證明方法。由美國第20任總統加菲爾德(James Abram Garfield)所提出。當他還未成為總統時,他是位國會議員。由於會工作很沉悶,所以他喜歡在無聊的時候思考數學問題解悶,結果就想到了這個畢氏定理的全新證明。

相較起來,本港的建制派立法會議員有睡魔黃議員,有連蒙面法已生效也不知的離地鄉事,有在立法會中呼大家蒸口罩重用的「包租婆」議員,還有學歷資料懸空的「葛博士」。美國的政治家在無聊時間竟然是思考數學問題解悶,兩者的修養也未免相差太遠吧。

加菲爾德的證法如下。

參考下圖,BAE = 180 o - BAC - DAE = 90 o



圖中梯形的面積是三個三角形面積之和。
ab/2 + ab/2 + c2/2 = (a + b) (a + b)/2
ab+ c2/2  = (a + b) 2/2
2ab + c2 =  a2 + 2ab + b2
a2 + b2 = c2

證法6

這是一個用海龍公式(Heron’s formula)的證法,相當精彩。

參考下圖,大三個形由兩個直角三角形組成,其中角C是直角。



ΔADB的面積自然是2(ab/2) = ab
但根據海龍公式,ΔADB的面積是



a2b2 = b2(c2 – b2)
a2 = c2 – b2
a2 + b2 = c2

證法7

今次就用上一點圓形的幾何性質吧!

參考下圖,以直角三角形ABC中的點B為圓心,BC為半徑畫一個圓,AC是圓的切線(tangent)。



根據切線割線定理(tangent secant theorem),AC2 = AD x AE
b2 = (c – a)(c + a) = c2 – a2
a2 + b2 = c2

證法8

最後是另一個用圓形的幾何性質的證法。

參考下圖,以直角三角形ABC中的點B為圓心,BA為半徑畫一個圓。



根據弦(chord)的性質,AC = CF
根據交弦定理 intersecting chords theorem),CA x CF = CD x CE
b2 = (c – a)(c + a) = c2 – a2
a2 + b2 = c2

畢氏定理作為公認的其中一條最美麗的數學定理,就連愛因斯坦都試過證明(但他不是用質能方程)。大家又認不認識其他的有趣證明方法呢?

2020年5月30日 星期六

江澤民與五點共圓幾何題


提起江澤民,大家會想起甚麼?大部分人都可能會想到亞視誤報死訊,或者江派與習派的鬥爭。不過數學愛好者們可能都知道,江澤民曾經在2000年視察澳門濠江中學時提出了一條有趣的幾何問題考學生,隨即吸引了很多人挑戰。問題如下:任意一個五角星型的五個三角形的外接圓交於五點,試證這五點共圓。參考下圖,就是要證明KLMNO共圓。



先始聲明,史丹福無意為任何獨裁者歌功頒德。事實上,全世界的人都應該唾棄獨裁政權。再者,這問題雖然因江澤民而開始廣為人知,但其實它是由法國數學家密克(Auguste Miquel)在1838年最先提出與證明的。江澤民懂得這數學定理,數學能力無疑是高的,但數學能力也與人格無絕對的關係,如某位數學家的妻子正是全香港最惡毒的婦人。

不過純以學術角度來說,這題目的確極具欣賞價值。解題所需的數學知識不多,只屬高中程度,但卻非常精妙,解題者需要有很高的數學觸覺才能找到圖形中隱藏的幾何關係。得出的結論也有很強的美感,可以說是歐氐幾何問題的典範。

史丹福也試做一次,答案如下:



首先我們先證明MCEK共圓。
我們需要先借G點一用,並證明GMCE共圓。
GMH =GBH
CMH = HIE (因為MCIH四點共圓,圓內接四邊形的外角等於它的內對角)
GMC + GEC = GMH + CMH + GEC = GBH + HIE + GEC = EBI + BIE + BEI = 180o
所以GMCE共圓,同樣地GKCE共圓,因此GMCEK共圓。



然後再考慮MNOK
MNIxONIy
MCI = MNI = x
MCEK共圓,所以MKE = 180o - MCI = 180o – x
y = ONI = OJE (因為ONIJ四點共圓,圓內接四邊形的外角等於它的內對角)= OKE
MKO = MKE - OKE = 180o – x – y
MKO + MNO = MKO + MNI + ONI = 180o – x – y + x + y = 180o
所以MNOK共圓,同樣地LMNO共圓,因此KLMNO共圓。

2020年4月25日 星期六

「情操高尚」的癌細胞


何杰金氏淋巴癌是首種被發現的淋巴癌。顯微解剖學的始祖意大利醫生馬爾皮吉(Marcello Malpighi)就在1666年為一位18歲的女士進行死後解剖,根據他寫的報告,醫學界普遍相信該女士患上何杰金氏淋巴癌,而這也是史上第一個被記載的淋巴癌個案。約一個多世紀之後,英國倫敦蓋伊醫院(Guy’s Hospital)的醫生何杰金(Thomas Hodgkin)在1832年發表了一篇醫學文章,描述了7位淋巴腫大的病人的解剖發現,後來的醫生就把何杰金發現的疾病稱為何杰金氏疾病。

何杰金氏淋巴癌患者常有頸部的腫脹,亦有些患者在X光檢查中發現縱膈(mediastinum)的腫脹。約有四分之一的病人會有發燒、體重下降、食慾不振、流夜汗等的系統性症狀。比起其他的非何杰金氏淋巴癌,這種淋巴癌的癌細胞在體內擴散的順序較有次序,通常是從某處淋巴結開始,逐步擴散開去,最後再進入肝臟及脾臟等的其他器官,亦有小部分會入侵骨髓。

但何杰金氏淋巴癌的癌細胞其實是非常「情操高尚」的,原因有以下6

中間的是何杰金氏淋巴癌的癌細胞──立德-史登堡氏細胞,附近有大量的其他免疫細胞
  1. 何杰金氏淋巴癌與艾伯斯坦-巴爾病毒(Epstein Barr virus,簡稱EBV)有密切關係,約有40%的何杰金氏淋巴癌個案都有EBV病毒感染。假如不是不尋常的EBV病毒感染,細胞亦不會發生癌變,細胞癌變的行為實屬合理。
  2. 何杰金氏淋巴癌的癌細胞有非常獨特的形態。在顯微鏡下,傳統的何杰金氏淋巴癌細胞有兩個細胞核,每個核都有一個大的像包涵體的核仁,大小相當於一個小淋巴球,就如有兩顆大眼睛。這種細胞叫立德-史登堡氏細胞(Reed-Sternberg cells),以兩位發現者命名。這獨特的形態反映它沒有意圖隱藏身分。
  3. 何杰金氏淋巴癌的癌細胞可以激起很強的免疫反應。在顯微鏡下,經常見到它被大量的淋巴球、巨噬細胞及漿細胞等免疫細胞包圍,簡直令人感覺到它是個「奄奄一息,滿身鮮血的受害者」,是「不情願的被犧牲者」。
  4. 免疫細胞的反抗,行為是火上加油。
  5. 何杰金氏淋巴癌的癌細胞表面帶有CD30抗原,是標靶藥物貝倫妥單抗(brentuximab)的目標,顯示它願意接受標靶藥物的懲罰,情操高尚。
  6. 不少正常的淋巴球都沒有CD30抗原,顯示癌細胞的情操在一些接受了VDJ 重組(VDJ rearrangement)及免疫球蛋白類型轉換(immunoglobulin class switch)的專業B細胞身上都沒有。


資料來源:

1.           Giangrande PL. The history of blood transfusion. British Journal of Haematology. 2000; 110(4): 756-67.

2.           Shanbhag S, Ambinder RF. Hodgkin lymphoma: A review and update on recent progress. CA Cancer J Clin. 2018;68(2):116–132.

2020年3月20日 星期五

Minions與血液細胞


迷你兵團Minions做主角的《迷你兵團2》本應在今年暑假登上大螢幕,不過在最先在中國武漢爆發的新型冠狀病毒肺炎肆虐全球,上映似乎存在很大的變數。姑勿論如何,Minions是史丹福最喜愛的卡通人物,他們傻得來又喜歡惡作劇,然後次次都撞大板,他們的一舉一動一句說話,甚至是無厘頭地懂嘰哩咕嚕幾句,已經可以令人會心微笑。今次史丹福就打算介紹幾種與Minions有密切關係的血液細胞。

Minions的大眼睛與靶形紅细胞

右下圖中的紅血球在顯微鏡下就似是「圓圈加一點」,很像Minions的大眼睛。它們叫做靶形紅细胞(target cells)。



一般的紅血球中間的部分較少血紅蛋白,所以在顯微鏡下就會較淡色。但如果紅血球表面的膜比紅血蛋白的比例太高,多出來的膜就會在中間摺起,於是在顯微鏡下就看似中間多了一點。這就好像你用花紙包禮物,如果花紙的大小剛好,那你就會包得很貼順漂亮;但假如你選的花紙相對於禮物來說太大張,花紙就可能會凸起。

出現靶形紅细胞的機制有兩個,一是紅血蛋白太少,例如地中海貧血症(thalassaemia)或其他血紅蛋白疾病(haemoglobinopathy);二是製造薄膜的脂質增多,例如肝病或膽管閉塞。上面的周邊血液抹片就是來自一位患有HbE疾病的病人。

紫色邪惡Minions與毛細胞

雖然Minions很可愛,但他們都有邪惡的一面的。在《壞蛋獎門人2》中,Minions被注射了特製的藥水後,就會變成蓬頭散髮、破壞力驚人的紫色邪惡Minions



其實有一種血液癌細胞樣貌都與邪惡Minions有點相似,它們比一般淋巴白血球為大,且與邪惡迷你兵團一樣都是紫色(細胞核)及蓬頭散髮的,而且兩者都愛到處破壞。大家留意一下細胞質的周圍,就可以見到一條條像是頭髮似的突出物。這種細胞叫做毛細胞(hairy cell),可以在毛細胞白血病(hairy cell leukaemia)病人的血液及骨髓中找到。

毛細胞白血病病人一般會有貧血及低血小板,另外一個很特別的特徵是病人的單核白血球(monocytes)會減少。病人也會有脾臟腫大。

除了血液抹片的分別外,我們還可以透過免疫組織化學染色法(immunohistochemical staining)(TRAP染料陽性)、流式細胞儀(flow cytometry)(CD11cCD25CD103CD123陽性)及BRAF V600E的基因檢查去診斷毛細胞白血病。

Minions
最愛的屁股與「屁股細胞」

Minions似乎對屁股情有獨鍾。在《壞蛋獎門人》中,他們就試過用影印機不斷地印刷自己的屁股。到了《壞蛋獎門人2》,他們知道邀請犀利哥進入組織的領袖叫做楊屁股(Silas Ramsbottom)後就開始大笑不停。事實上,在血液病理學中,確實有一種「屁股細胞」(buttock cells),它們是被套細胞淋巴瘤 mantle cell lymphoma)的癌細胞。

這種細胞的細胞核凹了入去,就彷似屁股般。這種細胞一般都是中型大小,且有較「鬆」的染色質(chromatin)。



被套細胞淋巴瘤是一種低級別 B 細胞淋巴瘤 low grade B cell lymphoma)。它的症狀包括淋巴腫大、肝脾腫大、骨髓功能障礙、發燒及體重下降(我們稱之為B症狀)等。雖然被套細胞淋巴瘤被分類為低級別,但其實它的病情可以很急很快,有點接近高級別的淋巴瘤。

高級別的淋巴瘤像傾巢盡出的千萬大軍,雖然攻勢又急又狠,但如果你成功抵擋了首波攻擊,敵軍之後大多難以為繼。高級別的淋巴瘤的症狀雖然嚴重,但仍有一定徹底治癒的機會。低級別的淋巴瘤就像是遊擊隊,雖然很難對敵軍做成重大傷亡,但非常徹底消滅,「野火燒不盡,春風吹又生」。低級別的淋巴瘤並不會快速地做成嚴重症狀,很多時候沒有症狀的病人甚至完全不需要接受治療,但這疾病卻很難「斷尾」,即使用了化療藥物,假以時日,復發的機會還是很高。被套細胞淋巴瘤集合了兩者的壞處,症狀很猛,但又很難「斷尾」,復發機會高,是一種極為麻煩的淋巴癌。

Minions最愛的香蕉與惡性瘧原蟲的配子母細胞

大家都應該知道Minions最愛的食物是香蕉。他們更有首瘋魔全城的首本名曲「香蕉歌」。



而我們的老朋友瘧原蟲(Plasmodium)在血液中的其中一個形態都非常像Minions喜愛的香蕉。瘧原蟲是一種引起瘧疾寄生蟲。寄生蟲在進入血液後就會走到紅血球內生長。患者通常會出現有發燒、發冷、頭痛等病徵,嚴重的病人更會出現器官衰竭、昏迷甚至死亡。

瘧原蟲有5個不同品種,其中以惡性瘧原蟲(Plasmodium falciparum)最為可怕,可以迅速致命,所以醫生及化驗師必須快而準地從周邊血液抹片中辨認得到惡性瘧原蟲。瘧原蟲在人體中會經歷不同的生命階段,每個階段都有不同的形態。例如惡性瘧原蟲在血液中最常見的形態是活動體(trophozoites),呈一個指環般的形象,那是最重要的特徵。有趣的是,我們偶爾也可以在血液中找到少量的配子母細胞(gametocytes),大家可以把它想像成瘧原蟲的生殖細胞。蚊子吸血的時候可以吸到這些配子母細胞,它們就是做成瘧疾傳播的原兇。而惡性瘧原蟲的配子母細胞就是呈這種有趣的香蕉形狀。

除了香蕉型的瘧原蟲細胞外,史丹福也創作了一個有關Minions的血液學口訣。

正常血液裡的白血球分為五大種,分別是嗜中性白血球(neutrophils)、淋巴球(lymphocytes)、單核球(monocytes)、嗜酸性白血球(eosinophils)及嗜鹼性白血球(basophils)。對接獲血液學多時的人來說自己是易如反掌,但對初學者來說都頗為繞口難記,不過我自行設計了一個口訣幫助初學者記憶。

“Never Let Minions Eat Bananas”,因為Minions太過喜愛香蕉,看見香蕉就會興奮過頭四處搗蛋,這是取了5種白血球英文名稱的第一個字母,根據著它們在血液中的數量,由最多至最少排列好:
Never: Neutrophils
Let: Lymphocytes
Mother/Minions: Monocytes
Eat: Eosinophils
Babies/ Bananas: Basophils
口訣的5個字的開首字母正好對應5種白血球英文名稱的開首字母。

Minions語中的Bella

最後想介紹一個與血液學無關的有趣醫學知識。

Minions語言又叫做「香蕉話」,相信大家最熟悉的莫過於bello(你好)與poopaye(再見)。Minions語言看似莫名其妙,但其實有很詞彙都是來自真實世界的語言。

Minion話中,"bella"是美女的意思。其實"bella"取自意大利語,也是美麗的意思。

有一種草藥叫做belladonna,它含有茛菪鹼(Hyoscyamine),一種抗膽鹼劑(Anti-cholinergic),作用與今時今日醫院中使用的atropine類似。

為甚麼叫belladonna?因為這種草藥可以抑制副交感神經系統(parasympathetic nervous system),而副交感神經系統又負責控制瞳孔收縮。如果把belladonna滴在眼中,就會令瞳孔放大。中世紀時代,意大利女士們會把它當眼藥水用,令自己眼睛更大更水注注更美,就像今天的「大眼仔」隱形眼鏡般。

因為很多女士都用了belladonna令自己變成美女,所以它的名宇中就有"bella"

資料來源:

Bain, B. J. (2015). Blood cells: a practical guide. Chichester, West Sussex: John Wiley & Sons Ltd.