2018年9月9日 星期日

DSE試卷上的「歐拉線」


雖然DSE數學課程比舊制課程明顯簡單得多,不過偶爾還是會出現相當有趣的題目。例如首屆DSE的數學M2試卷就出現了一題有關「歐拉線」的題目。

歐拉線是平面幾何中鼎鼎大名的理論,由其中一位史上最偉大的數學家歐拉(Leonhard Euler)所提出,是一條通過三角形的垂心(orthocentre)、外心(circumcentre)、重心(centroid)和九點圓圓心的一條直線,歐拉證明了在任意三角形中,這四點必成一直線。

歐拉非常多產,研究的範圍覆蓋了代數、幾何、數論、微積分、圖論和拓撲學,甚至是物理數學上都有不少突破性的研究,可以說是支配了18世紀至現在的數學。歐拉作出的數學貢獻多如恆河沙數,以他命名的數學理論也非常之多,大家翻開由何一個範疇的數學教科書,都差不多總會預到該個範疇入面以歐拉命名的數學理論。

言歸正傳,看看以下的DSE試卷題目(HKDSE 2012 數學伸延部份單完二 微積分與代數第12題):



答案如下:


題目用向量的方法得出了垂心、外心與重心共線,穿越三點的線就是歐拉線(雖然題目中沒有出現過歐拉線這名稱)。這題題目並沒有包括九點圓圓心,九點圓圓心是比較複製的平面幾何概念,我們有機會再作詳談。

除了向量外,我們也可以用一般平面幾何方法證明垂心、外心與重心共線,證法如下:


 DEF分別是BCCAAB的中點。OGH分別是ΔABC的外心、重心與垂心。

那麼ΔABCΔDEF,且FE//BCED//ABDF//CA(這個不太難證明,讀者可以自行試試)。

另外,由於ED//AB,所以AB的垂直平分線(perpendicular bisector)也必定垂直於ED,它是ΔDEF的垂線(altitude)。同樣地,BC的垂直平分線與CA的的垂直平分線也分別是ΔDEF的垂線。那麼OΔABC的外心,卻也是ΔDEF的垂心。

考慮ΔAHGΔDOG
AH/DG=BC/EF=2 (因為ΔABCΔDEF)
AG/GD=2 (properties of centroid)
AH//OD (兩條線皆垂直於BC)
GHA=GDO (alt. s, AH//OD)
所以ΔAHGΔDOG (ratio of 2 sides, inc. s)
ΔAGH=ΔDGO (corr. s, Δs)
AGD是一直線,所以OGH也都共線,這條線就是歐拉線。

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