日出日落知多少

今天甚麼時間日出？甚麼時間日落？白晝時間有多長？太陽在甚麼方向升起？這些問題明明跟我們生活息息相關，偏偏就沒有太多人留意。其實早在幾千年前，古人已經對太陽的規律有很深入的認識。如果我們連幾千年前的古人都及不上，那不是太令人慚愧嗎？所以今次史丹福會連同客串的小貓Peaches跟大家介紹一下日出與日落的知識。

首先，我們簡單地引入一個三維坐標系統。假設一個人站在北極，那麼z軸就是天北極，也就是這個人垂直向天上指的方向，也就是地球的自轉軸。y軸是正東，x軸是正南，也就是太陽在正午時的位置；xy平面就是赤道面。地球沿著自轉軸平行於赤道面逆時針方向旋轉，在地球上看來就變成太陽沿著z軸平行於xy平面順時針方向旋轉。

如果我們現在向天上指，我們指的方向自然不是z軸，因為我們不是在北極上。為了令大家容易形象化，我們請客串的小貓Peaches出場。我們暫時稱Peaches垂直向天上指的方向為Peaches’ axis。假如Peaches在北緯θ上，Peaches’ axis與z軸相差了90°-θ，所以Peaches’ axis的單位向量是cosθi + sinθk。留意，Peaches’ axis及z軸都與y軸垂直，所以Peaches的正東與北極人的正東是一樣的。

接著我們再引入太陽。假設太陽在頭頂時的位置是0°，太陽沿著z軸平行於xy平面順時針方向旋轉，設它與在頭頂時的位置成的角度是φ。又設太陽在某日子中直射落地球的北緯𝛿上。留意，太陽會平行於xy平面旋轉，所以𝛿在一整天都是相同的（其實會有很輕微的改變，不過為了易於計算，我們就忽略不計了）。在一天中，變的只有φ。所以太陽方向的單位向量就是cos𝛿 cosφ i + cos𝛿 sinφ j + sin𝛿 k。

這裡可能有一點抽象，但大家參考下圖，應該不難理解到的。

當你明白了這個三維坐標系統後，之後的都只不過是簡單的三角學及向量計算。

太陽在升起及落下時，都在水平面上。水平面與指向天的方向一定是垂直的。所以當Peaches看到日出或日落時，太陽方向的單位向量一定與Peaches’ axis垂直，也就是說cos𝛿 cosφ i + cos𝛿 sinφ j + sin𝛿 k 與cosθi + sinθk 垂直。

另外，假設日出時太陽的位置與正東成α。正東是y軸，方向的單位向量是j。

然後只要用這兩條簡單的公式，就可以計算出日出日落的詳細資料。

舉個例子，如果我們想計算在夏至時候香港的日出日落時間，及日出的方位。

我們知道，香港位於北緯22.5°上，而在夏至的時間，太陽直射下北回歸線，也就是北緯23.5°。因此θ是22.5°，𝛿是23.5°。

cosφ = - tan 23.5° tan 22.5°

φ = 100.4° or 259.6°

所以日出時，φ 是100.4°，日落時，φ 是259.6°。

太陽轉一圈要24小時，由100.4°轉到0°需要24 x 100.4°/360° = 6.69小時，也就是大約是6小時42分鐘。所以日出的時間就是太陽在的頭頂減6小時42分鐘，當天香港的太陽在12:25在頭頂（因為香港的經度不是正好落在時區+8的線上，加上其他的誤差，所以香港太陽在的頭頂的時間不是剛好12:00），12時25分減6小時42分鐘，即早上5時43分。日落的時間是12時25分加6小時42分鐘，即傍晚7時7分。參考天文台的數據，雖然有輕微的誤差，不過已經相當相當接近了。

至於日出的方位，就是

cosα = cos 23.5° sin 100.4°

α = 25.6°

所以日出的方位是正東偏北25.6°。

希望大家下次在看見耀眼的日出日落時，除了可以慨嘆它的美麗外，也可以深深地感受到原來地球及太陽的運行是如此的奧妙。

最後，為大家送上一幅美麗的日落照片。