架空電纜的形狀

上回提及伯努利兩兄弟雅各（Jakob Bernoulli）及約翰（Johann Bernoulli）是家族中最出色的天才數學家，他們二人互相忌，誓要擊敗對方，成為第一，可謂「既生瑜，何生亮」。原來早在「最速降線問題」之前，他們二人已經交戰過很多個回合，其中一個交戰的問題是「一條質量均勻分佈而不可延伸的長鏈，懸掛於兩支點，因重力作用而向下彎曲形成之曲線是甚麼形狀的？」

用簡單一點的文字來說，就是如果我們把一條長鏈的兩點懸起，就像是架空電纜一樣，那麼長鏈形成的曲線是甚麼形狀呢？這是一幅小弟在日本犬山明治村拍攝的圖片，圖中的架空電纜就由成了這樣的一條曲線。

這題問題由來已久，大名鼎鼎的伽里略曾經以為這曲線是拋物線，其後被證明了是錯的。參看下圖，懸鏈線跟拋物線雖然看起來近似，但其實又不完全一樣。

Adapted from Intmath

之後，雅各再提出了這題問題挑戰其他數學家。最後，這題問題在1691年被3位明星級的數學家破解，他們分別是約翰、惠更斯（Christiaan Huygens，力學及波動學的元老級人物）及萊布尼茲（Gottfried Leibniz，除了牛頓外另一位微積分的始創人）。

在今天看來，這題問題只是很標準的大學微分方程問題，解法如下：

Adapted from Wikipedia

參考上圖，設T是線段的張力（Tension），T0是最低點的張力，ρ是長鏈的密度。

為了方便起見，我們可以選擇適當的X軸及Y軸令C1及C2都是0，那麼方程式就會變成

其中cosh，全名hyperbolic cosine，是一個雙曲函數。

懸鏈線在建築學上是很常見的曲線，例如吊橋及雙曲拱橋等都用了懸鏈線的形狀。

聖路易斯拱門（Adapted from Wikipedia）

值得一提的是，很多人都以為青馬大橋等的懸索橋中鋼纜形成了懸鏈線，但其實鋼纜彎曲的原因並非因為本身的重量，主要是因為支持橋面的重量，鋼纜本身重量相對地反而很少，所以它並不完全是一條懸鏈線，反而是比較接近拋物線。