那些DSE同學所不知道的事－－那些年的A-level數學

又到公開試的季節，看到同學們為努力讀書，與公開試搏鬥，好不青春。

小弟當年讀的是舊制課程，考的是舊制公開試。據小弟所知，轉了新制後，有研究報告指學生的數理能力持續下降，甚至有大學課程要開enrichment課程，為同學惡補大學所需的數學，好讓他們可以趕得上大學的進度。

當然，小弟不是教育的專家，也不知道轉制對同學數理能力的影響有多大。但起碼從「美學」的角度來說，新制大幅度刪減AL課程，同學的確少了很多機會去接觸一些優美又奧妙的數學課題，又無辨法可以對數學的嚴謹有所認識。相較起DSE數學以運算為主，A-level數學著重的嚴謹的思維與邏輯，及對數學「美學」的觸覺。從一堆看似不相干的數學結果中推論出優美的新結論，那種快樂及滿足感是純粹做運算無可比擬的。對小弟來說，DSE的數學是「工匠」的數學，AL的數學是「藝術家」的數學（雖然也只是很初階的「藝術家」數學）。

即使以實用性來說，A-level數學的複數、圓錐曲線、微分方程等也是科學、工程，甚至是金融經濟中必不可少的數學工具。

所以小弟突然有感而發，想跟大家分享一下舊制的數學課程，並給大家看一下當年的試題，感受一下當年的數學之美。

所謂的A-level，全稱Advanced level，有兩科數學科，分別是Pure Mathematics（純粹數學）及Applied Mathematics（應用數學）。另外有一科AS-level（Advanced Supplementary Level）的Mathematics and statistics（數學及統計學），AS-level相等如半科的A-level，所以課程簡單得多，比較貼近今天DSE數學的M1，小弟就不在此多討論了。

Pure Mathematics分兩份卷，卷一是代數，卷二是微積分。

當年Pure Mathematics難到最多同學，但同時也是最美及最巧妙的課題，自然是inequalities。這個課題非常考同學的數學觸覺，可惜今天的同學已經無機會接觸到AM-GM inequality、Cauchy-Schwarz inequality等大名鼎鼎的數學不等式。以下是一題當年典型的inequalities題目：

(HKALE Pure Mathematics 2002 Paper 1 Q.10)

另一個消失了的大課題是complex number（複數），今天的DSE課程只是約略地談及複數的運算，已經沒有了Argand diagram、De Moivre’s theorem等重要概念，須知道這兩個概念甚至在再舊一點的時代甚至只是會學程度（中五程度）的課題。Complex number在科學計算中是非常有用的工具，電學、波動學，甚至量子力學都會見到它們的影子。單從數學來說，它也是我們分析高次方程及三角函數的有用工具。把複數結合三角函數，往往會得出一些意想不到的巧妙結果：

(HKALE Pure Mathematics 2003 Paper 1 Q.12)

以下是一題很精彩的高次方程問題，分析高次方程的實數根的數量，當中也隱隱地滲透一點複數的概念：

(HKALE Pure Mathematics 2002 Paper 1 Q.11)

至於卷二的微積分，其實當中的運算大多都不複雜，但同學一定要對基本的微積分概念，如limit、differentiability、continuity、fundamental theorem of calculus，甚至是微分及積分的定義都有透徹的了解，不是「計到就算」。可以就，這份卷可以讓同學淺嚐數學一門分支──analysis的威力。

(HKALE Pure Mathematics 1998 Paper 2 Q.2, 3)

(HKALE Pure Mathematics 1998 Paper 2 Q.10)

(HKALE Pure Mathematics 1997 Paper 2 Q.13)

至於Applied Math，當年應考的同學不多，大家對它的認識也應該不太深。先談談卷二，卷二有三大課題，分別是微分方程、數值分法，及概率與統計。三個課題都異常地實用，在物理、化學、醫學，甚至生態學、傳染病學、經濟學、金融學。特別是微分方程，引入這個課題簡直是為一絕，可以說是為同學通往高階科學開了一對門，引入一線光。小弟很難用三言兩語說得明白微分方程在科學中有多重要，但真的，懂科學的人自然懂微分方程有多重要。以下是當年的幾題微分方程題目：

(HKALE Applied Mathematics 2003 Paper 2 Q.2)

(HKALE Applied Mathematics 2002 Paper 2 Q.9)

數值方法可被視為合法的「出貓」，有很多數學問題，基本上都是不可能給出確實的答案。但數值方法是非常有用的數學工具，令我們可以求出一個非常接近答案的近似值。

以下是一題Newton's method的典型題目。當年小弟在考會考時遇到不典型的方程式時，也很愛「出貓」用Newton's method幫手找個數值答案，按計數機幾下就找到答案，不用甚麼腦力（雖然這方法不在會考課程中）。

(HKALE Applied Mathematics 1999 Paper 2 Q.1)

Taylor series又是另一個重要的數值方法：

(HKALE Applied Mathematics 2003 Paper 2 Q.1)

最後才談Applied Math卷一，小弟一直覺得卷一是一份非常神奇的卷。它根本不是一份數學卷，而是一份撤頭徹尾的物理卷，考的是力學。但它考的力學自然比「正規」物理卷難得多，而且也要大量用到微分方程等的數學工具。其實，力學也確實是一個需要大量數學應用的領域。其實會考程度的Applied Maths也曾經在八十年代之前有過一份paper 3是考力學的試卷，可見力學曾經也是中學數學的一個重要元素。可惜到今天，力學已經全面退出數學的舞台。

下面是一題SHM（簡諧運動，simple harmonic motion）的題目。可惜到今天，不但數學課程裡看不到它的蹤影，就連物理課程都不再教了，鳴呼哀哉。

(HKALE Applied Mathematics 2000 Paper 1 Q.7)

最後，送多一題projectile motion及一題circular motion的問題給大家：

(HKALE Applied Mathematics 2002 Paper 1 Q.8)

(HKALE Applied Mathematics 2004 Paper 1 Q.7)

最最後，以下是小弟試做以上題目的答案：