2017年4月28日 星期五

那些DSE同學所不知道的事--那些年的A-level數學

又到公開試的季節,看到同學們為努力讀書,與公開試搏鬥,好不青春。

小弟當年讀的是舊制課程,考的是舊制公開試。據小弟所知,轉了新制後,有研究報告指學生的數理能力持續下降,甚至有大學課程要開enrichment課程,為同學惡補大學所需的數學,好讓他們可以趕得上大學的進度。

當然,小弟不是教育的專家,也不知道轉制對同學數理能力的影響有多大。但起碼從「美學」的角度來說,新制大幅度刪減AL課程,同學的確少了很多機會去接觸一些優美又奧妙的數學課題,又無辨法可以對數學的嚴謹有所認識。相較起DSE數學以運算為主,A-level數學著重的嚴謹的思維與邏輯,及對數學「美學」的觸覺。從一堆看似不相干的數學結果中推論出優美的新結論,那種快樂及滿足感是純粹做運算無可比擬的。對小弟來說,DSE的數學是「工匠」的數學,AL的數學是「藝術家」的數學(雖然也只是很初階的「藝術家」數學)。

即使以實用性來說,A-level數學的複數、圓錐曲線、微分方程等也是科學、工程,甚至是金融經濟中必不可少的數學工具。

所以小弟突然有感而發,想跟大家分享一下舊制的數學課程,並給大家看一下當年的試題,感受一下當年的數學之美。

所謂的A-level,全稱Advanced level,有兩科數學科,分別是Pure Mathematics(純粹數學)及Applied Mathematics(應用數學)。另外有一科AS-levelAdvanced Supplementary Level)的Mathematics and statistics(數學及統計學),AS-level相等如半科的A-level,所以課程簡單得多,比較貼近今天DSE數學的M1,小弟就不在此多討論了。

Pure Mathematics分兩份卷,卷一是代數,卷二是微積分。

當年Pure Mathematics難到最多同學,但同時也是最美及最巧妙的課題,自然是inequalities。這個課題非常考同學的數學觸覺,可惜今天的同學已經無機會接觸到AM-GM inequalityCauchy-Schwarz inequality等大名鼎鼎的數學不等式。以下是一題當年典型的inequalities題目:

(HKALE Pure Mathematics 2002 Paper 1 Q.10)


另一個消失了的大課題是complex number(複數),今天的DSE課程只是約略地談及複數的運算,已經沒有了Argand diagramDe Moivre’s theorem等重要概念,須知道這兩個概念甚至在再舊一點的時代甚至只是會學程度(中五程度)的課題。Complex number在科學計算中是非常有用的工具,電學、波動學,甚至量子力學都會見到它們的影子。單從數學來說,它也是我們分析高次方程及三角函數的有用工具。把複數結合三角函數,往往會得出一些意想不到的巧妙結果:

(HKALE Pure Mathematics 2003 Paper 1 Q.12)


以下是一題很精彩的高次方程問題,分析高次方程的實數根的數量,當中也隱隱地滲透一點複數的概念:

(HKALE Pure Mathematics 2002 Paper 1 Q.11)



至於卷二的微積分,其實當中的運算大多都不複雜,但同學一定要對基本的微積分概念,如limitdifferentiabilitycontinuityfundamental theorem of calculus,甚至是微分及積分的定義都有透徹的了解,不是「計到就算」。可以就,這份卷可以讓同學淺嚐數學一門分支──analysis的威力。

(HKALE Pure Mathematics 1998 Paper 2 Q.2, 3)

(HKALE Pure Mathematics 1998 Paper 2 Q.10)
(HKALE Pure Mathematics 1997 Paper 2 Q.13)

至於Applied Math,當年應考的同學不多,大家對它的認識也應該不太深。先談談卷二,卷二有三大課題,分別是微分方程、數值分法,及概率與統計。三個課題都異常地實用,在物理、化學、醫學,甚至生態學、傳染病學、經濟學、金融學。特別是微分方程,引入這個課題簡直是為一絕,可以說是為同學通往高階科學開了一對門,引入一線光。小弟很難用三言兩語說得明白微分方程在科學中有多重要,但真的,懂科學的人自然懂微分方程有多重要。以下是當年的幾題微分方程題目:

(HKALE Applied Mathematics 2003 Paper 2 Q.2)
(HKALE Applied Mathematics 2002 Paper 2 Q.9)

數值方法可被視為合法的「出貓」,有很多數學問題,基本上都是不可能給出確實的答案。但數值方法是非常有用的數學工具,令我們可以求出一個非常接近答案的近似值。

以下是一題Newton's method的典型題目。當年小弟在考會考時遇到不典型的方程式時,也很愛「出貓」用Newton's method幫手找個數值答案,按計數機幾下就找到答案,不用甚麼腦力(雖然這方法不在會考課程中)。

(HKALE Applied Mathematics 1999 Paper 2 Q.1)

Taylor series又是另一個重要的數值方法:
(HKALE Applied Mathematics 2003 Paper 2 Q.1)

最後才談Applied Math卷一,小弟一直覺得卷一是一份非常神奇的卷。它根本不是一份數學卷,而是一份撤頭徹尾的物理卷,考的是力學。但它考的力學自然比「正規」物理卷難得多,而且也要大量用到微分方程等的數學工具。其實,力學也確實是一個需要大量數學應用的領域。其實會考程度的Applied Maths也曾經在八十年代之前有過一份paper 3是考力學的試卷,可見力學曾經也是中學數學的一個重要元素。可惜到今天,力學已經全面退出數學的舞台。

下面是一題SHM(簡諧運動,simple harmonic motion)的題目。可惜到今天,不但數學課程裡看不到它的蹤影,就連物理課程都不再教了,鳴呼哀哉。

(HKALE Applied Mathematics 2000 Paper 1 Q.7)

最後,送多一題projectile motion及一題circular motion的問題給大家:

(HKALE Applied Mathematics 2002 Paper 1 Q.8)

(HKALE Applied Mathematics 2004 Paper 1 Q.7)

最最後,以下是小弟試做以上題目的答案:























10 則留言:

  1. 心感同意!我在91年讀AL Pure Maths及AL Applied Maths, 簡直匠心獨運,帶學梓們走入科學的世界。

    回覆刪除
  2. The A level questions in year 2000 and beyond were already set easier. If you could access the questions in the 70s and 80s, you may find them even more challenging. They contained set and combinatorics problems. The scope was even wider.

    回覆刪除
    回覆
    1. https://www.facebook.com/183824495473168/photos/a.184241292098155.1073741828.183824495473168/184240652098219/?type=3&theater

      Yes!!Here's one of the combinatorics questions in the 80s.

      刪除
  3. Applied Maths真係好practical,我記得probabilty嗰課,有條題目係為何四條大個孚佬。

    回覆刪除
  4. 我系考87年嗰届既,Pure拿A(2),记得嗰朝Paper I起晒Q,答完7条仲有15分钟double check;晏朝Paper II就争少少,答咗6条半,时间唔够,但系都proof晒,后尾入咗HKU;依家30年后,都唔系好识架啦!

    回覆刪除
  5. 可唔可以講下有咩pure maths 啲書可以睇下?

    回覆刪除