中秋切月餅

中秋節大家都愛吃月餅，但切月餅要切得好也不容易的。趁著中秋佳節，問大家一個關於切月餅的問題：假如我有一個三尖八角、形狀奇怪的月餅，我在月餅上胡亂加一個紅點，現在限定你只能切一條直線，而且那條直線一定要通過那紅點，問是否必定有方法把月餅公平地分為面積相等的兩份？

假設下圖就是我們的月餅：

好，我們先胡亂地畫一條穿個紅點的線，並把那條線分開的兩個部分稱為1及2，它們的面積分別是A1及A2，設那條線與水平線間的角度是θ。設f(θ) = A1(θ)- A2(θ)，我們的目標是令到A1及A2相等，所以f(θ) = 0。

設一開始的時候θ = θ1。如果f(θ1) = 0，那月餅已經被平均分成兩份，問題解決。

如果f(θ1)不是0，我們慢慢把線沿著紅點逆時針地轉，令θ越來越大，直到轉了180°。

f(θ1 + 180°) = A1(θ1 + 180°) - A2(θ1 + 180°) = A2(θ1) - A1(θ1) = - f(θ1)

f(θ)是一個continuous function。f(θ1 + 180°) = - f(θ1)， f(θ1)及f(θ1 + 180°)一正一負。所以f(θ) = 0在θ1 < θ < θ1 + 180°中一定有至少一個根。也就是說，我們慢慢把線沿著紅點逆時針地轉的時候，一定有一點可以令到兩個部分面積相等。

我們用一點點高中數學就已經輕易地證明到月餅一定可以衼公平地分為面積相等的兩份。至於如何才做得到呢？大家慢慢想想吧。