史丹福狂想曲: 「屎忽」定理與Menelaus's theorem

今屆的國際數學奧林匹克比賽於香港舉行，各路數學天才雲集，好不熱鬧，連媒體都有不少報導（主要是因為北韓的參賽者）。看到此情此景，不禁令史丹福回想起中學時間參加數學比賽的往事。小弟當然「未夠班」參加國際數學奧林匹克等國際大賽，但還是有參與過一些本土的數學比賽。

参加數學比賽就如習武一樣，總要有幾一招半式防一防身，其中一招幾何學的必殺技就是Ceva’s theorem。由於讀音相近，當年我們一班參賽同學都愛戲稱它為「屎忽」定理。另外一條與它類似的定理叫Menelaus's theorem，但由於讀音不如「屎忽」定理「有霸氣」，不夠「入腦」，我們從來都記不到該定理的名稱，就只記得它是「屎忽」定理的變型版。

想看看兩條定理的威力，可以試試以下兩條問題：

1. In the figure below, OAB is a triangle. C and D are points on AB and OB respectively such that AC : CB = 8 : 7 and OD : DB = 16 : 5. OC and AD intersect at a point E. Let OE = r OC and AE = k AD. Find r and k.

2. In the figure below, in triangle ABC, AD, CE, CF and concurrent such that D, E, F are points on BC, AC, AB respectively. If CE = 1, CD = 2, BD =3, AF = 4, AE = 6, then what is the length of BF?

有點難度吧？如果你已經想到答案，那你的數學功力都不錯。如果尚未想到答案的朋友我們先來看看之前提及的兩條定理，之後便會豁然開朗。

「屎忽」定理（Ceva’s theorem）：

Let ABC be a triangle and D, E, F be points on the lines BC, CA, AB respectively. AD, BE, CR are concurrent if and only if (AF / FB) x (BD / DC) x (CE / EA) =1.

Menelaus's theorem：

Let ABC be a triangle and D, E, F be points on the lines AB, BC and CA respectively. D, E, F are collinear if and only if (CF / FA) x (AD / DB) x (BE / EC) =1.

好，回到之前的第一題：

(OD / DB) x (BA / AC) x (CE / EO) =1

(16 / 5) x (15 / 8) x (CE / EO) =1

CE / EO = 1 / 6

OE / OC = 6 / 7

r = 6 / 7

(AC / CB) x (BO / OD) x (DE / EA) =1

(8 / 7) x (21 / 16) x (DE / EA) = 1

DE / EA = 2 / 3

AE / AD = 3 / 5

k = 3 / 5

其實這題問題是取自會考的Amaths 1999年Paper 1舊試卷。但該題目用vector的方法，兜兜轉轉一翻，花了10分的步驟才求得到答案，卻被我們瞬間用Menelaus's theorem KO了。事實上，很多會考Amaths的vector長題目都是可以用「屎忽」定理或Menelaus's theorem瞬間KO的。史丹福記得自己當年會考的時候，一時失手，想極都想不到vector長題目的最後一部分，我已經緊張得手腳冒汗、掌心濕透，於是我把心一橫，使了橫手，直接就用了Menelaus's theorem計了答案。不知道最後考評局最後有沒有給小弟那幾分呢？