拉馬努金與他的神秘數學公式

近日上映的電影《數造傳奇》，講述的是一位無師自通的印度天才數學家拉馬努金（Srinivasa Ramanujan）。上映這電影的戲院不多，史丹福在上星期日post-call之後本打算走去看，感受一下大師的風采，想不到去到買票時才發現全院滿座！所以只好之後再找機會看了。

但在看電影之前，小弟還是可以跟大家分享一下他的數學遺產。

據說拉馬努金在13歲時已經自行發現了sine及cosine function的無窮級數展開式（這個以前是AL Applied Maths的範圍，現在DSE課程應該已經取消了，所以年輕一輩可能比較陌生）。他本來很興奮，以為自己做到了一個偉大的大發現，但後來知道原來這個公式早已在數百年前被另一位大數學家歐拉（Leonhard Euler）所發現，他不禁大失所望。

之後在他15歲的時候，他偶爾獲得了一本叫《純粹數學與應用數學基本結果彙編》的書，該書收錄了在代數、微積分、三角學和解析幾何的5000多條公式，卻沒有給出詳細的證明。拉馬努金於是自行研究，他的數學知識基本上大部分都是從這本書中學到的。

以後，拉馬努金開始寫出自己的數學公式，而且都沒有證明的。由於他的公式比較複雜，很難跟大家解釋，小弟特意選了一條比較容易懂的，只需要初中程度的數學：

拉馬努金得出的答案是3。這裡要用到n^2=1+(n^2-1)=1+(n-1)(n+1)。

另外一些他發現的較複雜公式包括：

之後，拉馬努金把他的公式寫成洋洋灑灑的九張信紙，把他寄給了當時最好的數學家之一，英國劍橋大學的哈迪（G.H. Hardy）。由於信中完全沒有任何證明，哈迪最初以為他是開玩笑的，後來才驚覺這些發現全都是對的，於是他立即把拉馬努金接到劍橋大學，給予他正式的數學訓練，而他們也成了一對研究數學的好拍擋。

拉馬努金最擅長的就是無限級數與數論。其中一個他與哈迪一起研究的傑作就是Partition Formula。何謂partition？就是用正整數相加得出某個數的方法

以3為例，3=1+2=1+1+1，可以同3種方法表示（次序不同算同一方法），所以p(3)=3。

至於4，4=1+3=2+2=1+1+2=1+1+1+1，可以同5種方法表示，所以p(4)=5。

至於5，5=1+4=2+3=1+1+3=1+2+2=1+1+1+2=1+1+1+1+1，可以同7種方法表示，所以p(5)=7。

之後的數字開始變得越來越複雜了。P(100)已經等如190569292。那再大一些呢？P(10000)是多少？數學家都無能為力了。直至拉馬努金與哈迪發現了以下的公式：

相信大家都不會看得懂這條公式，不過至少可以感受一下大師的風采。

拉馬努金是數學界少有的無師自通的超級天才，但可惜天妒英才，拉馬努金吃素，但他到英國時正值一次大戰，英國蔬菜短缺。加上英國天氣寒冷，不像印度天氣酷熱，拉馬努金很快就病倒了，醫生診斷是的到肺結核及維生素缺乏症。1919年，他決定回家，之後不到一年，他就過世了，享年32歲。他的一生雖短，卻為數學界帶來了一次轟轟烈烈的躍進。