又到聖誕，今年的聖誕份外冷清，不過偶爾聽到聖誕歌聲在風中飄蕩，依然可以令人感到節日的溫暖。
相信大家都聽過著名的聖誕歌《Twelve
days of Christmas》。歌詞講述主角的至愛在聖誕的第一天送了他1隻梨樹上的野雞；第二天送了他1隻梨樹上的野雞再加2隻斑鳩；第二天送了他1隻梨樹上的野雞加2隻斑鳩再加3隻法國母雞，如此類推。聖誕的第n天就送他1 +
2 + 3 + ... + n份聖誕節禮物，直到第12天。 第12天，他得到了1隻梨樹上的野雞、2隻斑鳩、3隻法國母雞、4隻鳴唱的鳥兒、5隻金戒指、6隻鵝蛋、7隻游泳的天鵝、8位擠奶的女傭、9位跳舞女士、10位歡呼跳躍的天神、11位吹笛的風笛手、12位擊鼓的擊鼓手。
這聖誕歌其實也可以引伸出一個有趣的數學問題，就是主角在這12天內共收到多少份禮物呢？
這是一題簡單的數列問題，大家用算術數列和及平方和的公式可輕易求得：
不過，just because it’s Christmas，我們不妨試一個更有聖經氣氛的數學方法。 史丹福曾在上年的聖誕介紹過有關柏斯卡三角（Pascal triangle），的「聖誕襪定理」（Christmas stocking theorem），這定理又被稱為「曲棍球棒定理」（hockey stick theorem）。該定理指出
另外，我們也可以利用二項式項數（binomial
coefficients）中nCr
= nCn-r的特性把公式寫成
這些數字在柏斯卡三角中就如一對聖誕襪。
以上圖為例，數列的形象顯示了：
1 + 4 + 10 = 15
1 + 8 + 36 + 120 + 330 = 495
1 + 7 = 8
形象就像是聖誕襪一樣。
大家留意到，在柏斯卡三角中，第n
+ 1行的第3個數，其實就代表nC2，即n (n -
1) / 2 = (n - 1)[(n - 1) + 1] / 2，也就是第n
– 1 天收到的禮物數量。因此主角共收到的禮物數量是：
「聖誕襪」的形狀就是這樣：
也就是說，主角如果在聖誕收到禮物後如果每天拆一份禮物，364天就剛好拆完，然後又可以迎接下一個聖誕。
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