2018年7月3日 星期二

世界盃中的數學:世界盃共需多少場賽事?

法國前鋒麥巴比入球後慶祝


又到四年一度的世界盃大賽,相信大家都看得興起,為了看球賽而徹夜未眠的大有人在。但原來世界盃對戰都牽涉到一些有趣的數學原理。大家知不知道今屆世界盃共有多少場對賽?

為了討論這個問題,我們可以先談一下循環賽,再談淘汰賽的計法。

世界盃的32強採用循環賽的賽制,把球隊分成8組,每組4隊,每一隊球隊都需要與小組中的所有球隊對賽。我們不難數到每組需要對戰6場,但如果每組的球隊更多呢?那又該如何計算?

先假設有n隊球隊進行循環賽,它們都必須與自己之外的球隊進行比賽,共有n-1隊,大家可能直覺上就覺得共需進行n(n-1)場比賽。但要留意,這樣計算的話有一半賽事是重複了的,因為西班牙對葡萄牙與葡萄牙對西班牙,或者英格蘭對比利時與比利時對西班牙是同一場賽事,如果用n(n-1)的方法計算就會多計了一倍。正確的比賽次數應該是n(n-1)/2。所以如果每組4隊,對賽次數是4x3/2=6。如果全部32隊都用循環賽方法對戰,比賽數量就是32x31/2=496

如果大家熟悉排列組合的話,對賽次數等如從n樣物件中取出2樣物件的組合(Combination)數量,即nC2 = n(n-1)/2

接著我們再討論一下淘汰賽數量的計算方法。

如果有2k支球隊作淘汰賽,大家很自然會想:首輪賽事共有2k-1場,次輪賽事共有2k-2... 四強賽事有2場,決賽共有1場。所以賽事次數等如2k-1 + 2k-2 + ... + 2 + 1 = 2k - 1 但如果球隊的數量不是以2k的形式呢?那又該如何計算?我們需不需要慢慢考慮各種不同的對賽方法的數量呢? 其實是不用的,甚至2^k形式的球隊數目的對賽次數都可以用一個非常聰明考妙的方法計算。假如有n隊球隊對賽,每場淘汰一隊,要選出冠軍,就要淘汰n - 1隊,那麼自然就需要對戰n - 1場。

總的來說,今屆世界盃共有循環賽48場(8個小組,每個小組需4x3/2=6場。6x8=48)、淘汰賽15場(16隊球隊中淘汰15隊)及季軍賽一場,共64場。

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