如果路徑是直線的話，質點移動的距離明顯是最短的。但如果路徑是向下凹的話，質點一開始的加速就會較多，這樣雖然路程長了，但又似乎可以更快去到目的地點B。向下凹的曲線都有很多不同的種類，可以是圓弧，可以是拋物線，可以是其他圓錐曲線，可以是其他古靈精怪的曲線，究竟那一條才是我們尋找的「最速降線」（Brachistochrone）呢？
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| Adapted from Curiosa Mathematica |
這題經典的數學物理問題由著名的數學家約翰•伯努利（Johann Bernoulli）提出，之後共收到其他4位數學家的答案。這4位數學家全部都是明星級的人物，包括牛頓（大家不可能不認識他的大名吧？）、萊布尼茲（Gottfried
Leibniz，除了牛頓外另一位微積分的始創人）、雅各•伯努利（Jakob Bernoulli，約翰的哥哥，他們兩人是伯努利家族中最出色的天才，但卻彼此憎恨大家）及羅必達（Guillaume de L'Hôpital，就是L'hopital's rule的那個L'Hôpital）。據聞約翰•伯努利自己用了兩個星期求得答案，而牛頓只用了一晚想到答案了。牛頓最初是匿名提交答案的，但約翰•伯努利憑著答案的風彩，已經猜到了答題者是誰，他形容自己「靠著爪印認得出一隻獅子」。
約翰•伯努利自己的答案很有趣，他用到了光學中的費馬原理。費馬原理告訴我們，光線一定會用沿著一條需時最少的路徑走。那麼如果我們把質點想像成光，光線從點A移動到點B的路徑正正就是我們想尋找的「最速降線」。
參考上圖，利用能量守恆定律（Law of conservation of
energy），我們得出質點在向下走了y’時的時候速度v = √(2gy’)。再利用光學中的斯內爾定律（Snell’s
law），我們得知光線的入射角的正弦與光速成正比，如果我們把質點想像成光線，就可以得出sinα / v = constant。
我們運用了光的類比，就得出了這一條優雅的微分方程。之後只要解了這條微分方程就可以了：
我們得出的曲線叫做「擺線」（Cycloid），它是一個圓沿一條直線運動時，圓邊界上一定點所形成的軌跡。
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| Adapted from Wikipedia |
這條曲線除了是「最速降線」外，原來他還有另一個非常有趣的性質，在約翰•伯努利未提出這個問題以前已早被惠更斯（Christiaan Huygens）所發現，就是把質點放在擺線的任何一點上，讓它在重力作用下移動，質點都會以同樣的時間走到最低點。
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| Adapted from Wikipedia |
其後兩位數學巨人──歐拉（Leonhard Euler）及拉格朗日（Joseph Lagrange）發展變分法（Calculus of
variation），一門可以系統化地解決類似「最速降線」這類問題的學問。典型的微積分可以尋求一個極值，使函數取得極大或極小值；而變分法則可以尋求的是函數：使得泛函（Functional）取得極大或極小值。
歐拉-拉格朗日方程式指出如果要令到
取得極大或極小值，那麼：
如果F獨立於x，那麼歐拉-拉格朗日方程式就可被寫成
我們試試用歐拉-拉格朗日方程式再求一次「最速降線」，這個是今時今日最標準的方法：
根據歐拉-拉格朗日方程式，要令質點落下的時間t取得最小值的話
得出的微分方程與約翰•伯努利用光學原理導出的方程式完全一樣。之前我們已經解了這條方程式，答案就是一條擺線。
這題數學題除了很有數學的內涵外，更帶有哲學意味，它教了我們「最短的路不一定最好，最重要是選一條適合自己的路」。
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| Adapted from Curiosa Mathematica |
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