2017

又到 2017 年，祝大家新年快樂。

2017是一個很特別的數字，它可以被表示為兩個平方數之和， 92 + 442 。原來2016 、 2015 、 2014…，直到 2010 都不可以被表示為兩個平方數之和。再上一個有這個特性的數字已經是 2009 。

究竟有那些數字可被表示為兩個平方數之和，有那些不可以？（為了方便起見，我們在下文會把「可被表示為兩個平方數之和」稱為「可表示數」，反之就稱為「不可表示數」。這不是一個正式數學用語，只是史丹福自創的簡稱。）

我們可以參考下以下的原則：

原則一：兩個「可表示數」之積也是「可表示數」

因為設兩個「可表示數」分別為 a2 + b2 及 c2 + d2 ，那它們的積 ( a2 + b2 ) ( c2 + d2 ) = ( ac + bd ) 2 + ( ad - bc ) 2 ，顯然也是一個「可表示數」。

原則二：一個「可表示數」與一個平方數的積也是一個「可表示數」

因為設「可表示數」為 a2 + b2 ，平方數為k2；它們的積　k2 ( a2 + b2 ) = ( ka )2 + ( kb )2，顯然也是一個「可表示數」。

原則三：一個可表示為 4n + 1 的質數是一個「可表示數」（其中n是正整數）

這個原則的證明較為複雜，我們有空再談。

原則四：一個可表示為 4n + 3 的數一定不是一個「可表示數」（其中n是正整數）

因為平方數除4的餘數一定是0或1，兩個平方數的和除4的餘數必然是0、1或2，而不可能是3。換句話說，可表示為 4n + 3 的數都不可能是兩個平方數之和。

總結以上四個原則，我們可以得出：如果一個數的質因數分解式中不包含可表示為4n + 3的質數的奇數次方，它就是一個「可表示數」，反之就是「不可表示數」。

「噏乜啊？」小弟都知道你們不可能看得明白上面的外星語，所以我們還是看一下幾個實際例子吧：

2017 是一個質數，而且可表示為 4 x 504 + 1 ，所以是一個「可表示數」。

2016 = 25 x 32 x 7 ， 2 當然是「可表示數」（ 2 = 12 + 12）；3是一個可表示為 4 x 0 + 3 的質數，所以是「不可表示數」，但它有偶數次方2，所以不影響 2016 是否「可表示數」；7是可表示為 4 x 1 + 3 的質數，所以是「不可表示數」，且有奇數次方1，所以2016也因此是一個「不可表示數」。

2015 = 5 x 13 x 31 ，而 31 是可表示為 4 x 7 + 3 的質數，且有奇數次方1，所以2015 是一個「不可表示數」。

2014 = 2 x 19 x 53 ，19是可表示為 4 x 4 + 3 的質數，且有奇數次方1 ，所以 2014是一個「不可表示數」。

2013 = 3 x 11 x 61 ， 11 是可表示為 4 x 2 + 3 的質數，且有奇數次方1 ，所以2013是一個「不可表示數」。

2012 、 2011 與 2010 也是個「不可表示數」，大家可以自己試證。

2009 = 72 x 41 ， 7 是可表示為 4 x 1 + 3 的質數，但它有偶數次方2； 41 是可表示為 4 x 1 + 1 的質數。終於，我們找到一個質因數分解式中不包含可表示為 4n + 3 的質數的奇數次方的數！也就是說， 2009 是一個「可表示數」！
2009 = 72 x 41 = 72 x ( 42 + 52 ) = ( 7 x 4 ) 2 + ( 7 x 5 ) 2 = 282 + 352

2008 、 2007 與 2006 也是個「不可表示數」。

2005 = 5 x 401 ，而 5 及 41 都是可表示為 4n + 1 的質數，而皆有奇數次方1，所以 2005 是「可表示數」。
2005 = 5 x 401 = ( 12 + 22 ) x ( 12 + 202 ) = ( 1 x 1 + 2 x 20 ) 2 + ( 1 x 20 – 2 x 1 ) 2 = 412 + 182

雖然 2009 與 2017 相隔了很遠，但 2017 後下一個可被表示為兩個平方數之和的數字卻近在咫尺，正是 2018 。因為 2018 = 2 x 1009 ，而 2 及 1009 都是「可表示數」（1009是一個質數，且可被表示為 4 x 257 + 1）。
2018 = 2 x 1009 = ( 12 + 12 ) x ( 152 + 282 ) = ( 1 x 15 + 1 x 28 ) 2 + ( 1 x 28 – 1 x 15 ) 2 = 432 + 132