2020年6月24日 星期三

愛因斯坦利用相對論證明了畢氏定理?!


某鄰近強國出版的一本數學教科書指愛因斯坦利用相對論中的質能方程e=mc2證明畢氏定理,其荒謬程度不下於香港的某議員提議蒸口罩重用。不過為了避免該國人民特別脆弱的自專心,史丹福還是不多批評了。我只想藉此機會與大家分享一下愛因斯坦與畢氏定理的故事,順道與大家分享8個不同的畢氏定理的證明。




畢氏定理現有超過350個不同的證法,不少人都相信它是現存有最多不同證明方法的數學定理。其中一個方法是由物理學天才愛因斯坦於12歲時提出的。他的證明如下:

參考下圖的直角三角形ABC



AD為三角形的垂線。
考慮ΔABCΔACDΔCBD
ACB = ADC = CDB = 90o
ABC = ACD = CBD
BAC = CAD = DCB
所以ΔABC ~ ΔACD ~ ΔCBD (AAA)
三個三個形的線性比例是AB:AC:CB = c:b:a
面積比例是線性比例的平方,所以等如c2:b2:a2
ΔABCΔACDΔCBD的面積分別是kc2kb2ka2ΔABC的面積顯然是ΔACDΔCBD面積的和。
kc2 = kb2 + ka2
a2 + b2 = c2
這就是大家熟知的畢氏定理!愛因斯坦真不愧是世上少有的天才,在還是小孩的時候已經發現到一個如此優雅簡潔的證明。

至於鄰近強國的教科書為何會荒謬地指愛因斯坦利用質能方程證明了畢氏定理呢?明明這證明與相對論一點關係都沒有。有心水清的網民就發現這有可能是翻譯出錯的結果。也許教科書翻譯外國文章時卻把當中出現的e=mc2誤認為是質能方程。該文章用e來代表面積,用m來表達比例常數(也就是我們用的k)。但鄰近強國教科書的編輯卻先入為主地卻把這方程當成質能方程。



正如之前所說,為了避免該國人民特別脆弱的自專心,史丹福還是不多批評了。畢氏定理作為現存有最多不同證明方法的數學定理,有很多的證明都非常簡單而美麗,就讓史丹福與大家分享愛因斯坦證法之外的另外8種證明方法。

證法1

這個證法同樣利用相似三角形的特性。我們再次利用之前的圖形。
ΔABC ~ ΔACD ~ ΔCBD
AD/ AC = AC / AB
所以AD = AC2 / AB,同樣地AD = CD2 / AB

AB = AD + BD = AC2 / AB + CD2 / AB
AB2 = AC2 + CD2
a2 + b2 = c2

證法2

這證法應該是其中一個最常在中學教科書中出現的證法,大家當年學習畢氏定理時應該就見過了。其實中國西漢時期出現的《周髀算經》已經出現了這證法,所以也有人稱之為「中國證法」。



參考下圖,大正方形的面積是小正方形與四個直角三角形面積之和。



(a + b)2 = c2 + 4 (ab/2)
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
a2 + b2 = c2

證法3

這證法都是由《周髀算經》中引伸出來的,與之前證法類似。

參考下圖,大正方形的面積是小正方形與四個直角三角形面積之和。



c2 = (a - b)2 + 4 (ab/2)
c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ab
a2 + b2 = c2

證法4

這是幾何學大師歐幾里德於其曠世巨著《幾何原本》中使用的證明。其實比起本文中的其他證法。不過既然是經典中的經典,我們自然不能不提。

參考下圖的直角三角形ABC,其中角C是直角。以ABBCCA為邊各劃一個正方形。



考慮ΔAGBΔACD
AG = AC
AB = AD
GAB = CAD = CAB + 90o
ΔAGB ΔACD (SAS)
正方形ACFDΔAGB有相同的底,ΔAGB的高等如ACFD的邊長,所以ACFD的面積是ΔAGB面積的兩倍。同樣地,長方形ADJK的面積是ΔACD面積的兩倍。但ΔAGBΔACD有相同的面積,所以正方形ACFD與長方形ADJK有相同的面積(橙色)。同樣地,正方形BHIC與長方形BKJE有相同的面積(綠色)。
ADEB的面積 = ADJK的面積 + BKJE的面積 = ACFD的面積 + BHIC的面積
a2 + b2 = c2

證法5

證法5是一個總統級的證明方法。由美國第20任總統加菲爾德(James Abram Garfield)所提出。當他還未成為總統時,他是位國會議員。由於會工作很沉悶,所以他喜歡在無聊的時候思考數學問題解悶,結果就想到了這個畢氏定理的全新證明。

相較起來,本港的建制派立法會議員有睡魔黃議員,有連蒙面法已生效也不知的離地鄉事,有在立法會中呼大家蒸口罩重用的「包租婆」議員,還有學歷資料懸空的「葛博士」。美國的政治家在無聊時間竟然是思考數學問題解悶,兩者的修養也未免相差太遠吧。

加菲爾德的證法如下。

參考下圖,BAE = 180 o - BAC - DAE = 90 o



圖中梯形的面積是三個三角形面積之和。
ab/2 + ab/2 + c2/2 = (a + b) (a + b)/2
ab+ c2/2  = (a + b) 2/2
2ab + c2 =  a2 + 2ab + b2
a2 + b2 = c2

證法6

這是一個用海龍公式(Heron’s formula)的證法,相當精彩。

參考下圖,大三個形由兩個直角三角形組成,其中角C是直角。



ΔADB的面積自然是2(ab/2) = ab
但根據海龍公式,ΔADB的面積是



a2b2 = b2(c2 – b2)
a2 = c2 – b2
a2 + b2 = c2

證法7

今次就用上一點圓形的幾何性質吧!

參考下圖,以直角三角形ABC中的點B為圓心,BC為半徑畫一個圓,AC是圓的切線(tangent)。



根據切線割線定理(tangent secant theorem),AC2 = AD x AE
b2 = (c – a)(c + a) = c2 – a2
a2 + b2 = c2

證法8

最後是另一個用圓形的幾何性質的證法。

參考下圖,以直角三角形ABC中的點B為圓心,BA為半徑畫一個圓。



根據弦(chord)的性質,AC = CF
根據交弦定理 intersecting chords theorem),CA x CF = CD x CE
b2 = (c – a)(c + a) = c2 – a2
a2 + b2 = c2

畢氏定理作為公認的其中一條最美麗的數學定理,就連愛因斯坦都試過證明(但他不是用質能方程)。大家又認不認識其他的有趣證明方法呢?

1 則留言:

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