假如我與大表姐一起碌下山，誰碌得較快?

史丹福的大表姐是一位科學高材生，所以我跟大表姐一起，很自然就會談起些奇怪的科學問題，例如「同卵雙胞胎生的兒女的基因有百分之幾是相同的?」、「甚麼形狀的避雷針最有效避雷?」或「三相交流電為何可以比單相電使用較少傳電物料?」

有一次，我又跟大表姐無聊時談起，「假如我與大表姐一起碌下山，誰碌得較快?」記得大表姐比我大很多很多，不論質量(mass)及體積都比我大很多。

其實伽利略當年已經做過實驗，把物件滑下斜坡，研究物件的加速度，得到的結論是所有物件，不論其質量及體積，都以相同的加速度向下滑。

參考下圖，

把向量(vector)分解後，我們知道所有物件都以g sinθ沿斜坡加速，這是伽利略當年的智慧發現，現在已成了中四物理課程教的基本知識。所以根據伽利略理論，在一個frictionless plane上，我與大表姐會以相同速度滑下山。

「如果我們把摩擦力也考慮在內呢?」大表姐問。

參考下圖，

摩擦力(friction)等如μN，其中μ乃摩擦係數(coefficient of friction)。

F = mg sinθ – μN = mg sinθ – μmg cosθ

ma = mg sinθ – μmg cosθ

a = g sinθ – μg cosθ

所以加速度獨立於質量及體積，即使把摩擦力考慮在內，我與大表姐仍然會以相同速度滑下山。

「如果我們把moment of inertia也考慮在內呢?」大表姐再問。

Moment of inertia即轉動慣量，乃物體繞軸轉動時的慣性。大表姐的意思是把我們碌下山時的轉動也計算在內，而不是把我們假設為簡單而只進行translational motion的point mass。沒有轉動，怎稱得上是「碌」下山? 所以把轉動也計算在內，才是名副其實，名正言順的「碌」下。

轉動慣量(I)等如kmr^2，其中k乃一常數，視乎形狀而定，球體是2/5，圓柱體是1/2；m及r當然是質量及半徑。

參考下圖，

By conservation of energy,

Loss in PE = Gain in translational KE + rotational KE

mgh = 1/2 mv^2 + 1/2 Iω^2 = 1/2 mv^2 + 1/2 (kmr^2) (v/r)^2 = 1/2 mv^2 + 1/2 kmv^2 = 1/2 (k+1)mv^2

v = √[2gh/(k+1)]

最後得出結論，碌下山的速度只取決於k，也就是形狀。謎底終於揭開，假如我與大表姐的形狀一樣，即使大表姐比我質量及體積都大多麼的多，我們仍然會以相同加速度碌下山。(如果形狀不同則另作別論，例如球體會比圓柱體碌得快。)