再談DSE試題中的歐拉線

之前跟大家介紹過一條有趣的DSE數學題目，利用了向量的方法間接地證明了一個三角形的外心（circumcentre）、形心（centroid）及垂心（orthocentre）必定位於同一條直線上。這條直線叫做歐拉線（Euler’s line）。歐拉線可以說是三角形上的「高速公路」，把幾個重要的點都連起來。史丹福覺得這題DSE題目是近年來最有創意及數學內涵的題目之一。

DSE試題用了向量方法，我們在上一篇文章（《DSE試卷上的「歐拉線」》）又試過用傳統平面幾何方法證明歐拉線的性質。今次我們再試試用其他新奇的方法作證明，體驗數學中一題多解的樂趣。

重溫一下題目，這是HKDSE 2012 數學伸延部份單完二 微積分與代數第12題。

第一個新方法是連用位似（homothety）。位似這個名詞好像很高深，其實簡單來說就是放大縮小的意思。把一個圖形上的每一點都沿著一個中心進行放大縮小，令每一點都有一個對應點，而對應點與中心在同一直線上，而且對應點與中心的距離及原點與中心的距離成同一比例，就是位似。

只用文字表達看似很複雜，讓我們看一些實際例子，就會知道其實並不困難。

參考下圖，ΔABC以O為中心做了一個位似變換，令到Oh(A) = k OA，Oh(B) = k OB，Oh(C) = k OC，其中k是常數，而且原點、中心與對應點成一直線，那麼ΔABC ~ Δh(A)h(B)h(C)。

如果經位似變換，對應點在中心的對面，我們會把常數k設為負數， Oh(A) = k OA，Oh(B) = k OB，Oh(C) = k OC，而ΔABC ~ Δh(A)h(B)h(C)的關係依然存在。

位似變換之後得到的圖形會與原來的圖形相似，而且圖形間的關係都得以保存，例如三角形的各個「心」都會沿著一個中心進行放大縮小，對應點與中心的距離與原點與中心的距離一樣成同一比例。

把ΔABC沿著形心G作一個-1/2倍的位似變換（記得，負的意思是對應點在中心的對面），那麼A會被變換到BC的中點D，因為根據形心的性質，GD = (- 1 / 2) GA。同樣地，B會被變換到CA的中點E，C會被變換到AB的中點E。

留意，ΔDEF的垂線就是ΔABC的垂直平分線，所以ΔDEF的垂心就是ΔABC的外心。所以這個位似變換會把ΔABC的垂心變換至ΔDEF的垂心，也就是ΔABC的外心。把ΔABC的垂心記作H，ΔABC的外心（ΔDEF的垂心）記作O。根據位似的性質，O、G、H成一直線，且GO = (- 1 / 2) OH。也就是說，三角形的外心、形心與垂心共線，且形心與垂心的距離是形心與外心的距離的兩倍！也就是DSE考試題目中的結論。

接下來我們會用一個更令人意想不到的方法去證明歐拉線這個性質－－複數（complex number）。中學時候學複數，大部分學生都只知道複數是很抽象的數學，但甚少有意識到原來複數是解幾何問題的好工具。

我們先把三角形ΔABC的外心、形心與垂心分別記作O、G及H。然後引入Argand diagram，設O是代表0的點，外設圓的半徑為一單位。 習慣上，我們會用大階字母來表示點，用細階字母來表達相對應的複數。所以

o = 0

g = ( a + b + c ) / 3 （把複數當成向量思考就很容易明白了）

至於h是什麼呢？這可不如之前的兩點那麼顯而易見。讓我們先重溫一起重要的複數技巧。 直線AB與CD形成的角度是Arg ( a – b ) - Arg ( c – d ) = Arg [ ( a – b ) / ( c – d ) ]。如果AB與CD垂直，那麼Arg [ ( a – b ) / ( c – d ) ] = 90o。也就是說( a – b ) / ( c – d ) + [ ( a – b ) / ( c – d ) ] *= 0。（z*是z的共軛conjugate，因為排版問題，史丹福用不到常用的頭頂一橫）

還有一個有趣的性質，我們設ΔABC的外設圓的半徑為一單位，所以A、B與C在|z| = 1上，z (z*) = 1，z* = 1 / z。也就是說a* = 1 / a，b* = 1 / b，c* = 1 / c。

H是ΔABC的垂心，因此有：

好了，做了一大堆運算之後，我們終於得到美麗的結果！

h – o = a + b + c

g – o = ( a + b + c ) / 3

O、G、H在同一直線上，且OH = 3 OG。三角形的外心、形心與垂心共線，且形心與垂心的距離是形心與外心的距離的兩倍！我們又再次得到這結果。

希望大家都能這題從由DSE引申出來的題目享受數學一題多解的樂趣。