2019年1月18日 星期五

2018年史丹福最喜愛的電影

第十位:《挑戰者一號》





史提芬史匹堡近年來的作品都偏向小眾,想不到他再次執導商業娛樂片,也依然寶刀未老。《挑戰者一號》是一部百分百的商業娛樂片,以打機尋「彩蛋」為主題,向八、九十年代的美式(還有日式)流行文化致敬。如果你熟悉美式流行文化的話,必然會興奮得大拍手掌,甚至會有點莫名的感動(高達出來的一幕簡直令全場拍手)。電影上畫的時候,甚至掀起過一陣影迷尋找戲中「彩蛋」的熱潮。除了「彩蛋」的元素外,電影本身也是劇情緊揍、娛樂度高、特技出色,令人看得非常的爽。

第九位:《與神同行》



過往,電影的大宇宙觀只會在荷里活電影中出現,但《與神同行》卻是韓國很成功的嘗試,它把自己的歷史文化融入電影構建的龐大世界觀,加上大型動作特技,成為亞洲少有的出色動作科幻電影。主角在地獄使者帶領下,通過一層層的地獄審判,途中遇到各樣危機,令地獄變成了刺激的闖關之旅,電影又透過不同的審判去揭露主角的身世,最後帶出韓式煽情催淚的結局。除了在電影情節中下過苦工外,在視覺特技上,各個地獄的設計也非常壯觀美麗,雖然及不上荷里活電影,但還是足以令大家眼前一亮。

第八位:《水行俠》



在《神奇女俠》之後,DC終於再有出色的作品!就如《神奇女俠》一樣,《水行俠》有兩個成功之處,第一是撇除不必要的黑暗元素,專心地做好娛樂;第二是撇除不必要地連接DC宇宙,專心地做好獨立電影。故事本身就如萬花筒般,有古典神話、海盜、戰爭、宮廷、冒險、尋寶、驚嚇,甚至旅遊元素(看完後真想去次西西里島),包羅萬有。導演溫子仁果然是信心保證,把如此多的元素融匯貫通,故事線穿插陸地世界的國際政治及海底世界各國的權力鬥爭,而且科幻元素應有盡有,令情節異常緊湊,張力十足。電影的特效也非常精彩,而且女主角Amber Heard是繼Gal Gadot後另一位DC電影中的出色女選角,令本身已經很精彩的電影再加幾分美艷。

第七位:《大君主之役》



《大君主之役》是今年最令我喜出望外的電影之一。二戰戰爭片與喪屍驚慄片結合,驟眼看來確實是伏味很濃,但出來的結果卻是出奇地自然,而且不論是戰爭或是驚慄部分,電影都處理得非常出色,彼此呼應,絕對是玩味十足。

電影的題材雖然帶點cult味,拍起來卻非常認真。當怪物還未出現之前,電影是一部精彩的「雷霆救兵」式的現代戰爭片,把戰場中槍林彈雨的壓迫感發揮得淋漓盡致。喪屍怪物出現之後,劇情發展為「困獸鬥」式的驚慄片,非常緊張。除了典型喪屍片出現的元素外,電影又加入噴火器等的二戰軍事元素,令主角們與喪屍的對戰變得更多元化。在科幻動作電影改篇、續集當道的年代,這絕對是原創電影的一股清泉。

第六位:《人肉搜索》



這是一部很特別又很有趣的電影,講述單親爸爸在網路上透過各種方法來尋找離奇失蹤的女兒,故事完全在電腦世界中發生,藉此帶出網路世界出現的現象,如呃like、不負責任地留言等,反正網上世界只是一個虛幻的舞台,大家都只求得到注意,又或是不負責任地「吃花生」。電影對網絡世界的諷刺十分到位,但撇除這點外,電影本身也是個非常精彩的懸疑故事,佈局出色,轉折位令人意想不到卻又言之成理,再加上令人感動的父女情元素,為這個令人緊張無比的懸疑故事加入了一點溫暖人性。

第五位:《職業特工隊:叛逆之謎》




《職業特工隊》系列是少有的越拍越精彩的長命電影系列,把大家喜歡的舊有元素都發揮得淋漓盡致。Tom Cruise繼續瘋狂玩命,IMF繼續以面具折穿各個陰謀。單論整個陰謀的複雜及細膩程度,是整個《職業特工隊》系列中數一數二的。論Tom Cruise的玩命動作場面,今集也許未及前兩集般經典,但也有跳傘、飛車、忙命狂奔,到最後的直升機大戰緊張刺激,驚險非常,絕不失禮。


到結局更是超級把三條支線互相穿插,把《職業特工隊》系列的超強動作場面推到高峰。結局明明是很傳統的折彈情節,偏偏又可以玩出新意。用上三條支線互相穿插,三線各有各緊張,危機一個接一個,令人如坐針氈。但最令人想不到的是今集《職業特工隊》竟然玩集體回憶,玩感動,把眾多舊作的人物、劇情與經典場面帶入,令到這系列有一個更堅實的「宇宙觀」。

第四位:《荷里活爛片王》



《荷里活爛片王》的故事沿自傳奇演員Tommy Wiseau自篇自導自演的,被譽為「最好看的最爛電影」的《The Room》。《The Room》以超越大家邏輯想像的跳躍式對白、不明所以的拍攝手法、大量完全不發展的奇怪支線,瞬間得到了不少影迷的歡心,並觸發了一陣「觀爛潮」。在美國,觀賞此電影的人群絡繹不絕,放映到今天依然場場爆滿。

《荷里活爛片王》就是改篇自Tommy Wiseau拍攝《The Room》的經過,所以本身已經喜感十足,單是把《The Room》中的片段「神還原」已經足以令觀眾們抱腹大笑。James FrancoTommy Wiseau這位帶東歐口音,說話騎呢、思維奇特的奇演唱演得入木三分。但電影最令人喜歡的不單是其笑料,更是它的正能量。Tommy Wiseau很愛電影,他不惜一切代價地追夢,雖然在旁人看來是浪費時間,是不可能成功的,但最後他還是得到了大家的欣賞,得到他所渴望的掌聲及(恥)笑聲。所以只要我們有堅強的意志,去做認為自認為正確的事,最終總會有人欣賞的。如果連你自己都對自己失去熱情,其他人又怎可能對你有熱情呢?

第三位:《波希米亞狂想曲》




這套電影絕對會令大家愛上經典樂隊Queen。主音Freddie Mercury的一生竟然如此充滿戲劇性,由個人交往對象,到性取向,到與樂隊、家人的關係,到最後患上愛滋病,這個高低起跌的一生本來就足以令觀眾看得如痴如醉。再加上主角為肖為妙的演出,大家可以在一段段悠揚悅耳的經典歌曲下,細味每首歌曲背後的故事。其中最精彩的當然是電影結尾live aid神還原,絕對可以感受到主角以生命中最後的火焰去演出,看完過後感動的心情一直在心裡縈繞,久久不能散去。

第二位:《屍殺片場》



真不知道編劇導演們的腦袋是如何運作的?究竟是如何想得出這個近乎瘋狂的故事呢?電影公司宣傳時都集中在開首37分鐘一鏡直落的喪屍大戰,因為除了開首37分鐘,其他一切的資訊都會影響觀眾的體驗,開首的37分鐘之後的發展是你絕對意想不到的。那37分鐘,有人覺得並不出色,甚至是很爛,網上甚至有人說看到一半便忍不住離場。誰知那37分鐘只是一個引子,之後的發展才是最精彩的地方,看完之後再回想一下,會發現開首的37分鐘根本是神來之筆。最初的那些不滿、失望,突然會轉化成興奮、激動!

(以下有劇透,強烈建議未看過電影的朋友快離開,因為這套電影在甚麼都不知道的情況下觀看,才會有那種強烈的快感。)

《屍殺片場》講述拍攝電影時辛酸。開首37分鐘看似很「爛」,但原來每個鏡頭背後都有它的故事。由於要一鏡到底,所以無論發生甚麼意外,劇組都必須咬實牙關,出盡各種瘋狂鬼主意把拍攝重回正軌,然後引發無數的笑料。這些笑料實在太有創意,而且完美地呼應了頭37分鐘的情節。如果沒有頭37分鐘,電影的下半部就不可能如此地好笑了,那是久違的讓人笑到標眼水。這不是誇張的修辭手法,而是真實的標眼水。電影也不是單單地無厘頭的好笑,而是很熱血地道盡了電影工作者的辛酸。可以寫得出這故事的人,肯定是非常熱愛電影吧!


第一位:《復仇者聯盟3:無限之戰》




《復仇者聯盟3:無限之戰》把MCU帶到新的高度,電影帶出的熱血、激情與感動是以十年的時間,18部前作交織出來的。

電影劇情豐富,幕幕高潮,角色眾多但導演駕馭得很好,把一眾人物的恩怨情仇連結起來,導演的導技之高真心令人拍爛手掌。在連結眾多舊角色之餘,電影更要帶出全新角色Thanos,他是個強得令人難以置信的奸角,稱他為超級英雄電影史上最強的奸角也不為過,而且他根本上就是本集的靈魂,電影深入地描繪了Thanos的心路歷程,電影很立體地帶出他內心的爭扎,又描述了他為了自己理想而作出的犧牲,看得不少觀眾都不禁同情他,甚至認同他。結局是非常的藝高人膽大,相信無人可以事先想像到電影以這個方法完結,震撼之餘,更是餘音裊裊。

不過看《復仇者聯盟》系列其實不止是為了看一部電影,而是為了見證一個時代的回憶。電影的好看是累積回來的,如果沒有長達1018部前作的鋪排,跟本不可能出現一部如此成功的電影。

2019年1月11日 星期五

走進血液細胞的工廠--骨髓(下)

上回介紹過紅血球先驅細胞、粒細胞先驅細胞及巨核細胞等骨髓中的三大家族。但其實骨髓中有很多其他的重要細胞。它們的數量雖然不多,但卻是骨髓中不可或缺的一分子。

漿細胞(plasma cells)負責製造抗體,是重要的免疫細胞。它的前身是B淋巴細胞,由骨髓中的淋巴原始B細胞(progenitor B-cells)演化出來。淋巴原始B細胞會一直演化,走到血液及淋巴組織,經歷過一大段訓練,過盡千帆後,終於成了漿細胞,又重新回到骨髓中。

漿細胞的細胞質顏色偏藍,細胞核圓圓的,並側了在細胞一邊。漿細胞最搶眼的特徵莫過於細胞核旁有個淡色的部分,叫做核周暈(Perinuclear halo),它是高基氏體(Golgi apparatus)聚集的地方,所以又叫高基氏區域(Golgi zone)。高基氏體是一種用於處理蛋白質的胞器(organelle),而漿細胞需要大量的高基氏體用來幫助它製造抗體。


漿細胞(紅色箭嘴)


巨噬細胞(macrophage)是身體的清道夫,最愛吞食異物,除了負責吞食病原體外,更會清走死細胞或細胞殘片。它有豐富的不規則灰藍色細胞質,有時候甚至可以在細胞質內見到它吞食完的細胞殘骸。

巨噬細胞(紅色箭嘴)


肥大細胞(mast cell)最顯眼的特徵在於它那又粗又深色的顆粒,這些顆粒非常豐富,豐富得把細胞的其他部分全部都遮住了。肥大細胞由現代血液學的先驅埃爾利希(Paul Erlich)發現並命名的,他之所以取這個名稱,是因為覺得這種細胞有很多粗顆粒,看起上來應該有足夠的營養,生長得又肥又大。


肥大細胞(紅色箭嘴)

肥大細胞是過敏反應的罪魁禍首,它那粗粗的顆粒中有很多化學遞質(mediators),包括組織胺(histamine)、肝素(heparin)、血清素(serotonin)、白三稀(leukotriene)、前列腺素(prostaglandin)等。當身體的免疫系統接觸到花粉、塵蟎、動物毛髮等致敏原後,就會激發漿細胞製造IgE抗體,IgE抗體會附上肥大細胞上,令它釋出化學遞質。這些化學遞質,特別是組織胺,令到組織充血腫脹、血管擴張及通透性增加,引起眼鼻部痕癢、皮膚出疹、流鼻水、支氣管收縮、嘔吐或腹瀉等症狀。

最後要介紹的是蝕骨細胞(osteoclast)與成骨細胞(osteoblast),蝕骨細胞是多細胞核的大細胞,驟眼看來有點像巨核細胞,不過細心看的話會發現它的細胞核分得很開,較為實色。成骨細胞的細胞核側在細胞一邊,有名顯的高基氏區域,驟眼看來有點像漿細胞,不過成骨細胞的細胞質沒有那麼藍。


成骨細胞(紅色箭嘴)


蝕骨細胞(紅色箭嘴)

蝕骨細胞與成骨細胞是一對冤家,蝕骨細胞負責分解骨組織,把骨骼中的鈣及磷酸根(phosphate)離子放到血液中;成骨細胞則負責製造新骨,把血液中的鈣及磷酸根用於製造骨骼組織。我們的骨骼就是它們的「戰場」。在正常的情況下,成骨細胞製造新骨的速度與蝕骨細胞的破壞舊骨的速度一致,使我們的骨質總質量得以維持,血液中鈣及磷酸根離子的濃度也得以維持。如果它們間的活動失衡,例如蝕骨細胞太活躍,就可以引起骨質疏鬆症(osteoporosis)等骨骼問題。

資料來源:
Bain, Barbara Jane. Blood Cells: a Practical Guide. John Wiley & Sons Ltd., 2015.

2019年1月5日 星期六

走進血液細胞的工廠--骨髓(上)

骨髓是血液細胞的工廠,每天都有約5千億個血液細胞在骨髓裡生成。把一張骨髓抽吸抹片放在顯微鏡下,會看到多姿多彩、五顏六色的細胞,好不美麗。究竟骨髓中有什麼細胞呢?如何辨認它們?相信不少初接觸血液學的朋友都會被千姿百態又變化萬千的骨髓世界嚇到了。今次就讓史丹福跟大家簡單的介紹一下這個五光十色的世界。


顯微鏡下的骨髓細胞

把一張骨髓抽吸抹片放在顯微鏡下,最先映入眼簾的必定是巨核細胞(megakaryocyte)。巨核細胞貌如其名,就是「巨」。它們可是骨髓中最大的細胞。一顆紅血球的直徑約6-8μm,巨核細胞直徑卻達50-100μm,是紅血球的10-15倍。比起其他細胞,它簡直就是一個超級巨人。巨核細胞有很多細胞核,而當它成熟之時,它的細胞質就會分裂開去,這些脫落的細胞質就是血小板。一顆巨核細胞可以分裂出過千粒血小板。有趣的是,骨髓中最大的巨核細胞製造出來的血小板卻是血液中最小的細胞,平均直徑只有0.5-3μm,把它與其他血細胞拼在一起的話,血小板簡直就只是一顆微塵。




巨核細胞(紅色箭嘴)


巨核細胞(紅色箭嘴)

骨髓中另一個重要的成員就是粒細胞先驅細胞(granulocytic precursor)。粒細胞泛指嗜中性白血球(neutrophil)、嗜酸性白血球eosinophil與嗜鹼性白血球basophil及它們的先驅細胞。它們都需要在骨髓中經過一段成長的過程才能成為成熟的細胞,它們的成長過程大同小異。以血液中佔最多的嗜中性白血球為例,家族中最原始的成員是母細胞(blast),之後它會經母細胞前髓細胞(promyelocyte髓細胞(myelocyte中髓細胞(metamyelocyte帶狀細胞(band form節狀嗜中性白血球(segmented neutrophil)的過程成長。

最原始的成員母細胞有非常高的細胞核比細胞質比例(nuclear: cytoplasmic ratio),大家只能見到非常少的細胞質。它的染色質(chromatin)看上去很「鬆」,而且偶爾可以找到核仁(nucleoli),也就是細胞核中看起來顏色較淡的部分。


母細胞(紅色箭嘴)

前髓細胞是這一系列細胞中最大的,細胞核稍為側向一邊,它有非常重要的三大特徵:核仁、原發性顆粒(primary granules,是粗粗的紫紅色顆粒)、高基氏區域(Golgi zone,也就是細胞核旁邊有一個淡色的區域)。

髓細胞比前髓細胞細小,且沒有核仁,顆粒變了次發性顆粒(secondary granules,是幼小的橙紅色顆粒),也沒有了高基氏區域。

中髓細胞的細胞核少少地凹了下去,但最幼的部分佔細胞核直徑三分之一以上。隨著細胞的成熟,細胞核也會越來越凹進去。當細胞核最幼的部分只有少於細胞核直徑三分之一,我們就稱它們為帶狀細胞。節狀嗜中性白血球是家族中最成熟的成員,它的細胞核已經凹到分成了一節節。


前髓細胞(紅色箭嘴)、髓細胞(藍色箭嘴)、中髓細胞(綠色箭嘴)、帶狀細胞(紫色箭嘴)、節狀嗜中性白血球(啡色箭嘴)

至於骨髓中那些細胞核又圓又實的血細胞就是紅血球先驅細胞(erythroid precursor)。正如粒細胞先驅細胞,紅血球先驅細胞一樣有一個由原始到成熟的過程。最原始的先驅細胞又大又藍,染色質很「鬆」。當細胞慢慢成熟時,細胞質及細胞核都會變小,細胞質的顏色則會變淺然後變紅,這是因為較成熟的紅血球先驅細胞會開始製造紅血蛋白。至於染色質則會隨著成熟而變「實」。不同成熟程度的紅血球先驅細胞在組織細胞學上有不同的名稱,不過臨床上醫生也甚少理會,不少血液病理學家都不再細分,把它們統稱為紅血球先驅細胞就好了。



紅血球先驅細胞(紅色箭嘴)

除了紅血球先驅細胞、粒細胞先驅細胞及巨核細胞三大家族外,骨髓中原來還有很多其他有趣的細胞,如漿細胞(plasma cell)、巨噬細胞(macrophage)、肥大細胞(mast cell)、蝕骨細胞(osteoclast)及成骨細胞(osteoblast)等。它們的數量雖少,卻都是身體中必不可少的一份子。為免大家食不消,今次就先介紹骨髓細胞中的三大家族好了,下次再跟大家介紹其他數量較少但同樣很有趣的細胞。


資料來源:

Bain, Barbara Jane. Blood Cells: a Practical Guide. John Wiley & Sons Ltd., 2015.

2018年12月24日 星期一

血液細胞聖誕狂歡大食會

又到聖誕,史丹福與Peaches祝大家聖誕快樂。在這個喜氣洋洋的日子,相信不少人都會吃頓豐富的聖誕大餐吧?為了配合濃厚的聖誕氣氛,史丹福打算為大家介紹幾款長得很像食物的血液細胞,跟大家來一場「血液細胞聖誕狂歡大食會」。

首先出場的是慢性淋巴性白血病(chronic lymphocytic leukaemia,簡稱CLL)的癌細胞。CLL是一種慢性淋巴增殖性疾病(chronic lymphoproliferative disorder),不正常的淋巴細胞不受控制地增生,影響骨髓造血功能,並引起淋巴結腫大、脾臟腫大、自身免疫性症狀等病徵。CLL的癌細胞驟眼看來跟普通的淋巴性白血球(lymphocytes)樣子差不多,都是小細胞,細胞核都是圓圓的,但細心一看,CLL的異常淋巴細胞有個非常獨特的核染質(chromatin)形態,像是一團團的聚集在一起,中間有一條條較淡色的「龜裂紋」。外國人稱這個圖案為「足球」(soccer ball)狀,但香港的血液學朋友一般都用一個較具本土色彩的形容詞──菠蘿包。大家又覺得那帶有「龜裂紋」的核染質像不像菠蘿包那塊凹凸不平的脆皮呢?

CLL癌細胞與菠蘿包

接下來出場的是非典型淋巴細胞(atypical lymphocytes)。非典型淋巴細胞的樣子跟一般淋巴細胞相差甚遠,初學者容易把它們當成異常淋巴細胞。其實非典型淋巴細胞雖然「非異型」,卻絕非「異常」,它們可是正常免疫系統的一部分。它們其實是被激活了的細胞毒性T細胞(cytotoxic T-cells),在病人受到病毒感染時就會顯著增加,最典型的例子就是由EBV病毒引起的傳染性單核球過多症(infectious mononucleosis)。非典型淋巴細胞的形狀像一塊卡樂B薯片,較一般淋巴白血球為大,細胞質呈淺藍色,邊緣的地方較為深色,而且每顆細胞看起來形狀都不太相同。相較起來,淋巴癌異常淋巴細胞的細胞質較少,形狀較不規則,細胞核看起來較「鬆」,細胞質呈深藍,甚至可能有小泡。

非典型淋巴細胞與卡樂B薯片

大家還想吃點海鮮嗎?想不想嚐點「海膽」?正常的紅血球呈「雙凹形」(biconcave shape),中間的地方凹了進去,有較少的血紅蛋白。在顯微鏡下紅血球應該是圓形的,中間約三分之一的地方較為淺色。但紅血球在某些臨床的情況下會變成異常的形狀,有很多像是刺狀的凸出部分,它們叫做鋸齒狀紅血球(echinocytes)。英文名echinocytes取自希臘語echinos,代表海膽。鋸齒狀紅血球外圍有有如針狀的凸起,凸起的程度小且多,並在細胞膜上均勻分布。這種細胞常在腎功能衰退的病人中出現,但有時候則純粹是抽血瓶使用EDTA抗凝血劑引起的現象,可以在完全正常的血液中出現。

鋸齒狀紅血球與海膽

另一種與鋸齒狀紅血球類似,一樣有點像海膽的紅血球叫做棘狀紅血球(acanthocytes)。它是由紅血球薄膜上雙分子層(bilayer)的外圍層膨脹引起。如果病人的膽固醇代謝出問題,就會令紅血球薄膜的膽固醇比磷脂(phospholipid)比例增高,形成這種特別的紅血球。比較起鋸齒狀紅血球,棘狀紅血球的凸起部分較不均勻,且有長有短,不似齒狀紅血球般所有凸起都短小而整齊。引起棘狀紅血球的疾病包括肝病、無β脂蛋白血症(abetalipoproteinaemia,一種影響膽固醇代謝的先天性基因疾病)及某些特別的遺傳性神經退化性疾病(neurodegenerative diseases),例如麥克勞德綜合症(McLeod syndrome)。

吃完幾款主菜後,大家還想要點甜品嗎?

急性早幼粒細胞白血病(acute promyelocytic leukaemia,簡稱APL)是一種非常危急的血液疾病,因為它可以引起瀰漫性血管內凝血(disseminated intravascular coagulation,簡稱DIC)。如果不能及時地作出診斷及為病人開始治療,患者可以很快地因腦出血而死。由於這個疾病太危急,病人都等不及骨髓檢查或者更先進的基因檢查,病理學醫生必須依靠周邊血液抹片及顯微鏡在短時間下作出診斷。

APL的癌細胞有細長紅色的包含體,叫做Auer rods。除此之外,這些癌細胞還有另一個特徵,它們的細胞核時常都分開兩塊,像是兩塊葉似的,有人把它們形容為蘋果核(apple core),也就是被咬淨果芯的蘋果。大家又覺得似不似呢?

APL癌細則與蘋果核

剛剛的一場「血液細胞聖誕美食狂歡派對」,大家見過這麼多「美食」,相信大家都吃得舔嘴咂舌吧?史丹福與Peaches在此再祝多一次大家聖誕快樂。

2018年12月15日 星期六

日本寺廟幾何學


前陣子與Peaches去日本旅行,認識了不少有趣的日本文化。相信大家都參觀過日本的寺廟,也見過祈福用的繪馬。原來在江戶時期,日本人曾經透過繪馬分享數學知識,並在寺廟中發展中一套特有的幾何學。

話說日本在16世紀,葡萄牙商船首次來到日本,日本人也開始接觸到西方文化。歐洲人除了把宗教、技術、文化傳到日本,也把幾何知識帶到了日本。歐氏幾何充滿美感,令到美學情有獨鍾的日本人也愛上了它。不過,德川幕府害怕西方文化影響自己的統治,於是在1639年宣佈鎖國,日本自始與西方文化接近完全隔絕。但幾何學的種子已經埋藏了在日本人的血液中,一發不可收拾。

日本人在沒有西方微積分、坐標幾何的知識下,發展出一套自己特色的幾何知識。雖然缺乏了最先進的數學工具,他們卻依然可以以自己的方式處理複雜的數學問題。日本彿教與神道教追求神聖的美感,與幾何學不謀而合,於是漸漸有日本人把幾何學問題畫上繪馬上,把它獻給神明,感謝神佛的恩賜。這種寫上數學題目的繪馬叫做「算額」。寺廟及神社成了當時人們交流數學的場地。把數學題目寫上算額放在寺廟及神社,就是當時數學家公開自己研究的途徑。

大致上,一塊算額有一至十道幾何問題。一般來說,算額包括了一幅彩色的幾何圖案,接下來就是題目、答案、解法、出題者的流派與老師。

算額的例子(來源:庶民に算術展)

算額的例子(來源:庶民に算術展)

這些日本寺廟幾何題目似乎有幾個特徵。首先,它們的圖案都非常具美術感,可以見到當年日本人研究數學時,亦很在乎美學的元素。另外,有別於西方的幾何在乎證明,日本的幾何更著重於計算,例如求邊長、圓形半徑、圖形周界、面積等,而且他們似乎對內接與外接的概念情有獨鍾,有很大部分的日本寺廟幾何題目都牽涉到一個圖形外接或者內接於另一個圖形。

日本寺廟幾何題目範圍很廣泛,牽涉到三角形、正方形、圓形,甚至是橢圓形。西方傳統的歐氏幾何學對橢圓形的興趣並不大,日本和算卻花了不少精力在橢圓形的研究上。日本寺廟幾何題目有易有難,有的即使初中生也可以輕易解決,有的即使受過高等的數學訓練都會想到頭昏腦脹。

讓我們看幾道典型的而且比較簡單日本寺廟幾何題目:

下圖為一直角三角形ABC,及一條由ABC的頂垂線(altitude),四個全等的圓形如圖般內接於三角形,求BC:AC



右手邊是日本的原題目(來源:] Okayu (御粥安本) ed., Honocho Sekisensei Sandai Kujo (奉納箸隻先生算題九条), 1855, Tohoku University Digital Collection,)

下圖有為三個有共同切線的圓形,它們彼此互相外切。設C1C2C3的半徑分別是r1r2r3,試以r1r2來表示r3



之後再來幾道很具美術感的題目,這些題目雖然很美,但難度就真的是不容小覷:

下圖中有一等邊三角形,三個全等的綠色圓形、四個全等的紅色圓形及六個全等的白色圓形內接於等邊三角形內。最外邊的圓形半徑是R,虛線圓形的半徑為r,試求白色圓形的半徑。


來源:cut-the-knot)

兩個半徑為R的大圓形如下圖般內接於一個正方形內,六個半徑為r的圓形內接於大圓形內,兩個半徑為t的圓形內接於正方形及與兩個大圓形外切,試以t來表達r


來源:T. Rothman and H. Fukagawa, Sacred Mathematics - Japanese Temple Geometry, Princeton University Press, Princeton, 2008.)

接著是一道與橢圓形相關的題目:

兩個半展軸及半短軸分別為ab的橢圓形內接於半徑為R的圓形,試以a及R來表達b


來源:T. Rothman and H. Fukagawa, Sacred Mathematics - Japanese Temple Geometry, Princeton University Press, Princeton, 2008.)

今天,我們有坐標幾何這個強大的武器幫助我們解決橢圓形的幾何題目,但當年的日本數學家並不懂得坐標幾何,他們只是以傳統的幾何知識來折解題目,非常有特色。

日本寺廟幾何學的發展自成一格,它們獨立於西方,甚至先於西方地發現了不少有趣的幾何定理。

例如笛卡兒在1643年提出的笛卡兒定理(Descartes' Theorem)指出對於四個相切的圓形半徑分別是r1r2r3r4,那麼


來源:Wikipaedia)

但原來日本人也獨立於西方自己研究出這定理,日本人更利用這定理解開了不少寺廟幾何學題目。下圖是1830年日本版本的定理:


來源:T. Rothman and H. Fukagawa, Sacred Mathematics - Japanese Temple Geometry, Princeton University Press, Princeton, 2008.)

日本人甚至先於西方發現了一些幾何定理。索迪六球連鎖定理(Soddy’s hexlet theorem)指出若兩個球體(圖中紅色與橙色的球體)內接於一個大球體內,那麼必然可以把六個球體(圖中綠色的球體)放於大球體內,使得這六個球體都與大球體、紅色與橙色兩個球體,及六個球體中兩個相鄰的球體相切


來源:Wikipaedia)

這定理在1937年由索迪(Frederick Soddy)提出。值得一提的是,索迪不是一位全職數學家,反而是位極為出色的化學家,更因為同位素(isotopes)的研究而獲得1921年的諾貝爾化學獎,但他仍然保持著對數學的興趣,業餘地研究數學,非常難得。

但後來有人發現,類似的幾何題目早於1822年神奈川的一塊算額中已經出現了。當年的日本沒有「逆轉」(inversion)這個現代幾何工具,卻發展出這樣細膩的定理,令人讚嘆。




來源:Wikipaedia)

不少香港人都熱愛日本文化,但大家想不到日本文化竟然有如此特別的幾何元素吧?大家下次參觀日本寺廟或者神社時,都不妨留意一下有沒有這些又美麗又有數學意味的算額。

資料來源:

1.       T. Rothman and H. Fukagawa, Sacred Mathematics - Japanese Temple Geometry, Princeton University Press, Princeton, 2008.

2.     Fukagawa, H. and Pedoe, D. (1989) Japanese Temple Geometry Problems, Charles Babbage Research Center, Winnipeg, Canada.