邪惡的幾何問題

最近有一篇報導，微軟（Microsoft）面試問了一題很邪惡的幾何問題：下面三角形的面積是甚麼？

 應徵者滿懷信心地回應30（底乘高除2），面試官卻告訴他答案錯了。應徵者大為驚訝，心想這麼簡單直接的面積問題，他有甚麼可能會出錯。最後面試官告訴他原本這個三角形根本不可能存在！因為在直角三角形中，斜邊對應的高最多只可以是斜邊的一半！在這題問題中，就是5。所以斜邊對應的高是6的三角形根本不可能存在！

http://hk.apple.nextmedia.com/realtime/international/20160518/55116320

為什麼？史丹福嘗試證明一次：

參考下圖：

設斜邊AC長度為b，其對應的高BD長度為h，AD長度為x，CD長度為b-x。

所以斜邊對應的高最多只可以是斜邊的一半。

上面是一個代數的證明，下面另外一個更直觀的純幾何證明：

先畫一個三角形的circumcircle，根據converse of angle in semi-circle，AC一定是三角形的直徑。很明顯，AC對應的altitude長度，最大可能就是圓形的半徑（這時候altitude與直徑正好在圓心上交匯，如下圖），也就是斜邊的一半。