再談DSE試題中的歐拉線

之前跟大家介紹過一條有趣的DSE數學題目，利用了向量的方法間接地證明了一個三角形的外心（circumcentre）、形心（centroid）及垂心（orthocentre）必定位於同一條直線上。這條直線叫做歐拉線（Euler’s line）。歐拉線可以說是三角形上的「高速公路」，把幾個重要的點都連起來。史丹福覺得這題DSE題目是近年來最有創意及數學內涵的題目之一。

DSE試題用了向量方法，我們在上一篇文章（《DSE試卷上的「歐拉線」》）又試過用傳統平面幾何方法證明歐拉線的性質。今次我們再試試用其他新奇的方法作證明，體驗數學中一題多解的樂趣。

重溫一下題目，這是HKDSE 2012 數學伸延部份單完二 微積分與代數第12題。

第一個新方法是連用位似（homothety）。位似這個名詞好像很高深，其實簡單來說就是放大縮小的意思。把一個圖形上的每一點都沿著一個中心進行放大縮小，令每一點都有一個對應點，而對應點與中心在同一直線上，而且對應點與中心的距離及原點與中心的距離成同一比例，就是位似。

只用文字表達看似很複雜，讓我們看一些實際例子，就會知道其實並不困難。

參考下圖，ΔABC以O為中心做了一個位似變換，令到Oh(A) = k OA，Oh(B) = k OB，Oh(C) = k OC，其中k是常數，而且原點、中心與對應點成一直線，那麼ΔABC ~ Δh(A)h(B)h(C)。

如果經位似變換，對應點在中心的對面，我們會把常數k設為負數， Oh(A) = k OA，Oh(B) = k OB，Oh(C) = k OC，而ΔABC ~ Δh(A)h(B)h(C)的關係依然存在。

位似變換之後得到的圖形會與原來的圖形相似，而且圖形間的關係都得以保存，例如三角形的各個「心」都會沿著一個中心進行放大縮小，對應點與中心的距離與原點與中心的距離一樣成同一比例。

把ΔABC沿著形心G作一個-1/2倍的位似變換（記得，負的意思是對應點在中心的對面），那麼A會被變換到BC的中點D，因為根據形心的性質，GD = (- 1 / 2) GA。同樣地，B會被變換到CA的中點E，C會被變換到AB的中點E。

留意，ΔDEF的垂線就是ΔABC的垂直平分線，所以ΔDEF的垂心就是ΔABC的外心。所以這個位似變換會把ΔABC的垂心變換至ΔDEF的垂心，也就是ΔABC的外心。把ΔABC的垂心記作H，ΔABC的外心（ΔDEF的垂心）記作O。根據位似的性質，O、G、H成一直線，且GO = (- 1 / 2) OH。也就是說，三角形的外心、形心與垂心共線，且形心與垂心的距離是形心與外心的距離的兩倍！也就是DSE考試題目中的結論。

接下來我們會用一個更令人意想不到的方法去證明歐拉線這個性質－－複數（complex number）。中學時候學複數，大部分學生都只知道複數是很抽象的數學，但甚少有意識到原來複數是解幾何問題的好工具。

我們先把三角形ΔABC的外心、形心與垂心分別記作O、G及H。然後引入Argand diagram，設O是代表0的點，外設圓的半徑為一單位。 習慣上，我們會用大階字母來表示點，用細階字母來表達相對應的複數。所以

o = 0

g = ( a + b + c ) / 3 （把複數當成向量思考就很容易明白了）

至於h是什麼呢？這可不如之前的兩點那麼顯而易見。讓我們先重溫一起重要的複數技巧。 直線AB與CD形成的角度是Arg ( a – b ) - Arg ( c – d ) = Arg [ ( a – b ) / ( c – d ) ]。如果AB與CD垂直，那麼Arg [ ( a – b ) / ( c – d ) ] = 90o。也就是說( a – b ) / ( c – d ) + [ ( a – b ) / ( c – d ) ] *= 0。（z*是z的共軛conjugate，因為排版問題，史丹福用不到常用的頭頂一橫）

還有一個有趣的性質，我們設ΔABC的外設圓的半徑為一單位，所以A、B與C在|z| = 1上，z (z*) = 1，z* = 1 / z。也就是說a* = 1 / a，b* = 1 / b，c* = 1 / c。

H是ΔABC的垂心，因此有：

好了，做了一大堆運算之後，我們終於得到美麗的結果！

h – o = a + b + c

g – o = ( a + b + c ) / 3

O、G、H在同一直線上，且OH = 3 OG。三角形的外心、形心與垂心共線，且形心與垂心的距離是形心與外心的距離的兩倍！我們又再次得到這結果。

希望大家都能這題從由DSE引申出來的題目享受數學一題多解的樂趣。

《愛．回家》中的數學題

前幾天播放的《愛．回家之開心速遞》講述兩位男生同時喜歡同一位女生，他們參加大學迎新營時，為了博得女生好感而各出奇謀。

內容並不是重點，重點是那一集劇集中出現了一題數學題。史丹福作為數學迷，當然情不自禁地地試計算一下。本以為在電視中出現的數學，要不就太過簡單，要不就是錯的（尤其是這電視台以「是是旦旦」著稱），誰不知這數學題不但沒有出錯，而且相當有挑戰性，史丹福也花了不少時間才解得到。

問題如下，大家有興趣的話可以試算一下：

我想問題困難的地方在於處理分母中的x - ln x，常用的技巧是用代入法（substitution）代入x - ln x，但運用代入法會製造出1/ (1 - 1/x)的項，所以我們不妨試試先併砌出一個1 - 1/x的項。

然後最巧妙的地方是運用分部積分法（integration by parts）竟然可以消去最尾的那個很難處理的積分項！

唔係咁科學喎

昨天港台播放的《真係好科學之唔係咁科學喎》非常有趣，請來了幾位科學專家探討坊間的保健產品的效用。節目中多次提及的一個核心問題是，我們怎樣知道一樣保健產品是否有效呢？四位專家作出了很有啟發性的討論，史丹福也覺得這個問題很重要，所以想再作一點補充。

舉個例子，街坊陳師奶跟你說：「我前陣子感冒，吃了產品X，兩日後就痊癒了，產品X真是有效。」她這個推論有沒有問題呢？

大家細心想想，陳師奶覺得自己病情好轉可以是因為「安慰劑效應」（placebo effect），即是她吃了藥後相信藥的作用，心理因素引起生理變化，少了不適的感覺。但這不是藥物的效果。即使陳師奶吃粒糖，她心裡以為這是特效藥，亦可能會引起同樣的心理影響生理效果。

節目中的專家提出，可能用保健產品的人自覺身體不好，所以多作運動，多作休息，均衡飲食，這又是陳師奶痊癒的另一個可能性。

再退後一萬步來說，其實我們根本上不知道陳師奶用了產品X之後是否更快康復，或許她不服用的話，一日後已經康復，不需要兩日呢？

那麼，我們有甚麼更有效的方法去解決以上的問題呢？ 醫學界中的金科玉律是隨機對照研究（randomized controlled trial），也就是把足夠的試驗對象隨機分成兩批，一批接受A療法，一批接受B療法，然後再比較一下兩者的分別。最理想的情況下，研究是雙盲的（double blind）。也就是說，提供療法者與接受療法者都不知道用的是那一種療法，例如把兩種藥物刻意設計成外觀一樣，令提供療法者與接受療法者都無法透過外觀認得藥物，這樣就可以避免提及剛才提及的「安慰劑效應」問題。

舉例來說，如果要用隨機對照研究的方法驗證產品X的療效，我們首先要找尋足夠數量的患上感冒的試驗對象，把它們隨機地分成兩組，而且這兩組對象的性質應盡量接近。否則其中一組多是體弱多病的老年人，另一組別是年輕力壯的青年人，無論兩者使用甚麼產品，後者的效果都肯定較前者理想。至於何謂足夠的試驗對象？這個問題牽涉到統計學的計算，我們就不在此詳談了。分成兩組後，其中一組試驗對象使用產品X，另一組則使用安慰劑。安慰劑是一種模仿產品X，但其實沒有有效成分的藥劑（例如包裝成產品X的膠囊，內裡卻只有麵粉）。試驗對象並不知道自己是接受那個療法。 這個做法便把剛才提及的大部分問題都解決了。假如使用產品X的組別平均康復時間為兩天，而使用安慰者的組別平均康復時間為五天，這樣我們就有很可信的證據去證明產品X有助縮短感冒康復所需的時間。

隨機對照研究雖然很有說服力，但做起上來很困難，又要找到足夠的試驗對象，又要用公平的方法把試驗對象隨機分組，又要設計出方法確保「雙盲」的效果。因此實證醫學中也有世代研究（Cohort study）及病例及對照組研究（Case-control study）等較易執行的研究方法，但其可信度就及不上隨機對照研究了。

事實上，實證醫學中有一個很標準的方法去分辨證據的可信度，叫做「證據等級」（level of evidence）。

第一級：隨機對照研究
第二級：世代研究
第三級：病例及對照組研究
第四級：病例報告（Case series）
第五級：專家意見（Expert opinion）

第一級是最可信的證據，等級越低，越不可信。《真係好科學》節目中提及諾貝爾化學獎與和平獎得主Linus Pauling提出用高劑量維他命C去補身，其實這只是他的個人意見，並沒有高等級的證據去支持。那管他是諾貝爾得獎者都好，在實證醫學的角度中，這只是最低等級的第五級「專家意見」。這也許比陳師奶的意見好一點點吧，因為陳師奶連專家也說不上。

如果有十位街坊試用過產品X之後有良好效果，那在實證醫學中屬於第四級的病例報告，是較為高質量的證據。而最高質量的證據就是隨機對照研究。

希望這篇文章可以令大家認識到基本的實證醫學概念，明白到何謂一個有質素的研究。下次遇到宣稱功效神奇的保健產品時，可以更有批判性思考，認真地想想宣稱的效果是否可信，避免被誤導或者被騙。

血液化驗室中的「攻擊性武器」

雷射是現代科學技術中必不可少的工具，其功用當然不止於用作「攻擊性武器」雷射槍去燒著報紙吧！事實上，它於工業、通訊、科學及醫學等多個領域都有很多的應用。上年的諾貝爾物理學獎──科學界成就的最高指標──也都是頒給了三位研究雷射技術的科學家，可想而知這是一個多麼重要的技術呢。

在史丹福工作的血液學領域中，雷射同樣是不可或缺的，例如流式細胞（flow cytometry）技術就可以幫助醫生診斷中各種奇難雜症。

流式細胞技術簡單來說就是利用雷射去檢測細胞的特性。流式細胞儀分為3個主要部分，分別是液流系統、光學系統及電腦系統。

液流系統會利用流體力學的方法把液體樣本中的細胞排成單行，一粒一粒地穿過雷射，好讓電腦系統可以一粒一粒地分析細胞的特性。

光學系統是流式細胞儀的核心部分，它發射雷射穿過細胞，然後透過細胞散射出的光去分析細胞的特性。細胞越大，散射向前方的光就會越強，我們稱之為前向散射（forward scatter）。至於散射向側面的光則取決於細胞內部結構的複雜程度，我們稱之為側向散射（side scatter）。舉個例子，單核細胞（monocyte）是白血球中最大的，所以在被雷射照射後產生的前向散射會最強。又例如嗜中性白血球（neutrophil）的細胞核分成多節，而且細胞質中有很多顆粒，它的內部結構是眾多白血球中最複雜的，所以它在被雷射照射後產生的側向散射比其他白血球要強。

單是偵測技術散射這個技術本身已經很厲害，但如果再配上特製的帶有螢光染料的抗體，那就更加是如虎添翼了。

每種細胞上都有獨特的抗原標記，如B淋巴細胞有CD19、CD20、CD22、CD79b，T淋巴細胞有CD3、CD2、CD5、CD7。這就好像醫生有白袍與醫生工作證，護士有護士工作服與護士工作證。只要知道細胞上的抗原標記，我們就可以知道細胞的真正身份。當然，有一些惡性癌細胞，也會出現異常的抗原標記，這就仿佛像某些職業的人士沒有委任證一樣。

帶有螢光染料的抗體能夠與特定的抗原結合。當細胞接觸到流式細胞儀發射的雷射，染料中的電子就會被激活，令電子去到較高的能量狀態，然後當電子從高的能量狀態回到低的能量狀態，多出來的能量以光的形式釋出。不同的染料會釋出不同波長的光。所以儀器只要分析光的波長，就可以得知細胞上有沒有特定的抗原標記。

最後，電腦系統會把所有資訊整理好，製作成圖表，醫生就可以透過這些圖表分析細胞的特性，從而作出診斷。

以下一個典型的例子：

大家有沒有被那些花花綠綠的點所嚇到？圖表中的每一點都代表一粒細胞。對應X軸的性質，右邊代表強，左邊代表弱；同樣地，對應Y軸的性質，上面代表強，下面代表弱。史丹福也不想把大家嚇壞，大家簡略地看看就好了。因為即使是血液病理科的醫生，都需要多年的訓練才可以準確地分到這些圖表。

簡單來說，史丹福把CD5陽性的B淋巴細胞標記為橙色，它們是異常的惡性癌細胞，因為正常的B淋巴細胞是不會有CD5抗原的。這些細胞就仿似一批有防暴裝備卻沒有委任證的人，是異常的，是惡性的。它們是CD23陽性（圖中沒有顯示），CD79b弱陽性，FMC7陽性，CD43陰性，CD200陽性（圖中沒有顯示），CD38陰性。再加上接近90%都是帶有kappa輕鏈的細胞，絕少帶有lambda輕鏈（圖中沒有顯示）。除了FMC7及CD43之外，其他的特徵都都指出這是慢性淋巴性白血病（chronic lymphocytic leukaemia）的細胞。

流式細胞技術在診斷急性白血病及慢性淋巴增殖性疾病時最為有用，因為不同急性白血病中的母細胞（blasts）形態非常相似，同樣地，不同慢性淋巴增殖性疾病中的異常淋巴細胞也甚為相似，我們很難純粹利用顯微鏡下的細胞形態去分辨它們。這時候，流式細胞技術就可以助醫生排憂解困。除了血液癌症外，流式細胞技術也可以用來診斷陣發性夜間血紅素尿症（paroxysmal nocturnal haemoglobinuria，簡稱PNH）及遺傳性球形紅細胞增多症（hereditary spherocytosis）等其他血液科疾病。

資料來源：

Bain, B. J., Lewis, S. M., & Dacie, J. V. S. (2012). Dacie and Lewis practical haematology (11th ed.). [Edinburgh]: Elsevier Churchill Livingstone.

《天賦的禮物》中的數學題

《詭娃安娜貝爾：回家》最近上映，童星Mckenna Grace的表現大放異采。其實她在此之前已經參與過不少大電影，例如飾演年輕版的Marvel隊長。但她最早為人所知的電影，應該是與「美國隊長」Chris Evans合作的《天賦的禮物》。她在電影裡飾演7歲數學神童Mary，故事講述她一直與舅父（Chris Evans飾）生活，舅父希望她如普通小孩般成長，外婆卻想催促她的數學知識，讓她盡早上大學學習高等的數學知識。

故事其中一幕是外婆把女孩帶到大學中，大學教授出了一題數學問題考她。史丹福想跟大家介紹一下這道數學問題。熟悉數學的朋友可能立即就認得出這是鼎鼎大名的高斯積分（Gauss integral），是大學微積分或分析課裡常見的題目。 高斯積分是數學中非常有趣及重要的課題，應用層面廣泛，最為人所知的自然是統計學中的正態分佈（normal distribution）。德國以前的10馬克貨幣上面就印有高斯的肖像與高斯函數的曲線。高斯積分就是曲線下的面積。

電影中的題目如下：

女孩最初表示自己不懂回答這問題，數學教授以為她的數學能力不夠，不過在外婆再三追問下，才發現她不是不懂問題，只不過是問題出錯了。正確的問題是這樣：

原先的問題漏了一個負號與一個絕對值符號。

我們先看看這條問題的答案吧。最常用的解答方法就是把直角座標轉換成極座標：

原先的題目漏了一個負號，是一個明顯的錯誤。缺少了它，積分是發散的，所以答案並不存在。 至於絕對值符號就更有趣了，高斯積分常用於正態分佈。大部分人在太熟悉的情況下，已經自動把σ當成標準差，假設為正數。問題本身卻沒有表明過。也許女孩「入世未深」，未被自己已知的東西錯誤引導，反而更能保持數學的嚴謹性。

除了高斯積分外，《天賦的禮物》更談及過不少其他數學問題，例如大名鼎鼎的七個千禧年大獎難題（Millennium Prize Problems），其中的納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）更在電影估了相當重要的位置。

《天賦的禮物》是套溫馨感人的小品，亦會令大家對小孩的教育有所反思。用盡全力去催谷孩子的才能，是不是就是對他最好呢？史丹福非常推薦大家看看這套電影。

《詭娃安娜貝爾：回家》：熱熱鬧鬧的鬼怪聯盟

《詭屋驚凶實錄2》是我第一套看的恐怖片，這個系列可以說是我對恐怖片的啟蒙。系列最近更發展出一個「詭屋電影宇宙」，把一眾角色串連起來，創意十足。一如Marvel cinematic universe，當單獨電影都非常成功，深入民心，下一步就是組織一個大聯盟。MCU有復仇者聯盟，「詭屋電影宇宙」則在本集《詭娃安娜貝爾：回家》中發展出一個鬼怪聯盟。

《詭娃安娜貝爾：回家》的故事非常簡單，大家還記得《詭屋驚凶實錄》中的華倫夫婦有間密室，用來封存詭娃安娜貝爾及其他與靈異事件相關的物件吧？今次故事講述華倫夫婦外遊，把女兒交給另一女生照顧，女生的朋友卻意外地把封存著的詭娃安娜貝爾釋放出來，安娜貝爾帶領其他鬼怪一次大搗亂。

今次電影的恐怖度非常不錯，雖然我覺得尚比不上上集《詭娃安娜貝爾：造孽》，但勝在熱熱鬧鬧，各式各樣新鬼怪傾巢而出，充滿新鮮感。本集的驚嚇場面非常出色，而且一個接一個，毫無喘氣空間，到了末段基本上就是四個角色輪流被不同的鬼怪嚇，驚嚇場面密集得令人透不過氣來。驚嚇場面的密集程度之高，連兩集《詭屋驚凶實錄》都比不上。

恐怖場面的鋪排充足，氣氛營造得很出色，比起《詭修女》那些趕急且還未製造出足夠的張力便突然出來jump scare要成功。而且「博物館」中有大量靈異物件可用，令電影可以玩出不少新意來。「詭新娘」初出場時繞場一週的張力令人聯想到《詭屋驚凶實錄2》詭修女畫中出來的一幕。彩色投影燈的一幕除了成功製造出驚嚇感外更顯示了安娜貝爾的不同形態，對於看過前幾集《詭娃安娜貝爾》的觀眾來說應該特別有感覺。「未來電視」則以氣氛營造取勝，沒有jump scare的配搭下，卻營造出令人心寒的不安感。

但整體而言，我覺得電影還是及不上前作《詭娃安娜貝爾：造孽》。首先是今集電影的故事太薄弱。需知道恐怖電影除了靠恐怖場面本身外，觀眾的代入感覺也是相當重要的，上集女主角的悲慘身世加先天身體缺陷，營造出的弱勢感覺，令觀眾更易代入，遇到怪事來感覺更無助。另外，前作《詭娃安娜貝爾：造孽》以懸疑感帶動，觀眾不知道安娜貝爾從何而來，不知道密室中發生過甚麼事，不知道屋主太太的經歷，這些懸疑感可以挑起觀眾的不安，作了一個加乘效應，令主角每次進入密室時都令人倍感不安。本集的「博物館」大家見過多次，早已見過不怪，而且戲本也沒有再帶出新的懸疑，所以缺少了懸疑感引起的加乘效應。還有一個小問題，我覺得今次鬼怪配角太搶戲，主角安娜貝爾反而出場不多，也是美中不足的。

不過總的來說，大家若想被狠狠地嚇一嚇的話，《詭娃安娜貝爾：回家》定不會令大家失望。經過較平淡的《詭修女》與《哭泣的女詭》後，今次算是詭屋系列的回勇之作，是迎接下年《詭屋驚凶實錄3》前一個很好的過渡。

史丹福推介度：82/100