《天賦的禮物》中的數學題

《詭娃安娜貝爾：回家》最近上映，童星Mckenna Grace的表現大放異采。其實她在此之前已經參與過不少大電影，例如飾演年輕版的Marvel隊長。但她最早為人所知的電影，應該是與「美國隊長」Chris Evans合作的《天賦的禮物》。她在電影裡飾演7歲數學神童Mary，故事講述她一直與舅父（Chris Evans飾）生活，舅父希望她如普通小孩般成長，外婆卻想催促她的數學知識，讓她盡早上大學學習高等的數學知識。

故事其中一幕是外婆把女孩帶到大學中，大學教授出了一題數學問題考她。史丹福想跟大家介紹一下這道數學問題。熟悉數學的朋友可能立即就認得出這是鼎鼎大名的高斯積分（Gauss integral），是大學微積分或分析課裡常見的題目。 高斯積分是數學中非常有趣及重要的課題，應用層面廣泛，最為人所知的自然是統計學中的正態分佈（normal distribution）。德國以前的10馬克貨幣上面就印有高斯的肖像與高斯函數的曲線。高斯積分就是曲線下的面積。

電影中的題目如下：

女孩最初表示自己不懂回答這問題，數學教授以為她的數學能力不夠，不過在外婆再三追問下，才發現她不是不懂問題，只不過是問題出錯了。正確的問題是這樣：

原先的問題漏了一個負號與一個絕對值符號。

我們先看看這條問題的答案吧。最常用的解答方法就是把直角座標轉換成極座標：

原先的題目漏了一個負號，是一個明顯的錯誤。缺少了它，積分是發散的，所以答案並不存在。 至於絕對值符號就更有趣了，高斯積分常用於正態分佈。大部分人在太熟悉的情況下，已經自動把σ當成標準差，假設為正數。問題本身卻沒有表明過。也許女孩「入世未深」，未被自己已知的東西錯誤引導，反而更能保持數學的嚴謹性。

除了高斯積分外，《天賦的禮物》更談及過不少其他數學問題，例如大名鼎鼎的七個千禧年大獎難題（Millennium Prize Problems），其中的納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）更在電影估了相當重要的位置。

《天賦的禮物》是套溫馨感人的小品，亦會令大家對小孩的教育有所反思。用盡全力去催谷孩子的才能，是不是就是對他最好呢？史丹福非常推薦大家看看這套電影。