2019年12月30日 星期一

聖誕襪定理


這是篇遲來的聖誕文章。雖然聖誕已過,但我們不妨再探討多一個與聖誕有關的數學定理──聖誕襪定理(Christmas stocking theorem)。聖誕襪定理與組合數學中的柏斯卡三角有關,是一條簡單但有趣的初等數學定理。



相信大家都見過大名鼎鼎的帕斯卡三角(Pascal triangle),它是由二項式系數所組成的,第n+1行的數字是nC0nCn



帕斯卡三角有很多有趣的性質,我們就在此簡單地列舉幾個。

性質一:帕斯卡三角形中相鄰的兩個數字相加等如底下的數字



因為



這大概是帕斯卡三角形最重要的性質,事實上也有人用這個性質去定義帕斯卡三角形。

性質二:帕斯卡三角形中第n行的數字相加等如2n-1



這可以用二項式定理(binomial theorem)來解釋:



性質三:帕斯卡三角形的數字如下圖般沿左下相加,會得到斐波那契數列(Fibonacci sequence



也就是說,


其中Fn是指斐波那契數列中的第n個數。

我們可以用數學歸納法來證明:




性質四:帕斯卡三角形中第n+1行數字的平方相加,就等如第2n+1行最中間的數字



也就是說


因為



重溫了這些有趣的性質後,我們終於入正題了,把帕斯卡三角形中的數字如下圖般沿右下相加,答案就是最右下數字下面的數字。



也就是說:



觀看上圖中數列的形象,就如一對聖誕襪,因此數學家就形象化地稱它為「聖誕襪定理」,也有人稱它為「曲棍球棒定理」(hockey stick theorem)。 我們當然可以用「屈機」的數學歸納法去證明這公式,不過史丹福打算用一個較有趣及直觀的方法去解釋。以下圖中的70為例,根據性質一,
70 = 35 + 35 = (15 + 20) + 35 = [(5 + 10) + 20] + 35 = { [(1 + 4) + 10] + 20} + 35 = 1 + 4 + 10 + 20 + 35


根據這個概念,我們只要重覆使用帕斯卡三角形的性質一,就會得出這條很有聖誕氣氛的聖誕襪定理。


雖然聖誕已過,史丹福還是想藉此機會在2019年的最後一天祝大家新一年事事順心,知識積水成淵。

沒有留言:

張貼留言