聖誕襪定理

這是篇遲來的聖誕文章。雖然聖誕已過，但我們不妨再探討多一個與聖誕有關的數學定理──聖誕襪定理（Christmas stocking theorem）。聖誕襪定理與組合數學中的柏斯卡三角有關，是一條簡單但有趣的初等數學定理。

相信大家都見過大名鼎鼎的帕斯卡三角（Pascal triangle），它是由二項式系數所組成的，第n+1行的數字是_nC₀至_nCn。

帕斯卡三角有很多有趣的性質，我們就在此簡單地列舉幾個。

性質一：帕斯卡三角形中相鄰的兩個數字相加等如底下的數字

因為

這大概是帕斯卡三角形最重要的性質，事實上也有人用這個性質去定義帕斯卡三角形。

性質二：帕斯卡三角形中第n行的數字相加等如2^n-1

這可以用二項式定理（binomial theorem）來解釋：

性質三：帕斯卡三角形的數字如下圖般沿左下相加，會得到斐波那契數列（Fibonacci sequence）

也就是說，

其中F_n是指斐波那契數列中的第n個數。

我們可以用數學歸納法來證明：

性質四：帕斯卡三角形中第n+1行數字的平方相加，就等如第2n+1行最中間的數字

也就是說

因為

重溫了這些有趣的性質後，我們終於入正題了，把帕斯卡三角形中的數字如下圖般沿右下相加，答案就是最右下數字下面的數字。

也就是說：

觀看上圖中數列的形象，就如一對聖誕襪，因此數學家就形象化地稱它為「聖誕襪定理」，也有人稱它為「曲棍球棒定理」（hockey stick theorem）。 我們當然可以用「屈機」的數學歸納法去證明這公式，不過史丹福打算用一個較有趣及直觀的方法去解釋。以下圖中的70為例，根據性質一，

70 = 35 + 35 = (15 + 20) + 35 = [(5 + 10) + 20] + 35 = { [(1 + 4) + 10] + 20} + 35 = 1 + 4 + 10 + 20 + 35。

根據這個概念，我們只要重覆使用帕斯卡三角形的性質一，就會得出這條很有聖誕氣氛的聖誕襪定理。

雖然聖誕已過，史丹福還是想藉此機會在2019年的最後一天祝大家新一年事事順心，知識積水成淵。