降龍十八掌與天文學

在金庸武俠小說中，郭靖是俠之大者，一生為國為民。他的絕技是降龍十八掌，此乃最絕頂的武功之一，當中的招式包括「亢龍有悔」、「飛龍在天」、「見龍在田」等，相信喜愛金庸小說的讀者們都耳熟能詳。但大家又知不知道這些降龍十八掌中的招式與天文學有何關係？

原來降龍十八掌中大部分招式的名字由《易經》而來。其中的乾卦的爻辭是：「初九，潛龍勿用；九二，見龍在田，利見大人；九三，君子終日乾乾，夕惕若厲，無咎；九四，或躍在淵，無咎；九五，飛龍在天，利見大人；上九，亢龍有悔；用九，見群龍無首，吉。」學者相信這爻辭是古人觀測諸星運行的結果。而乾卦中的「龍」其實就是古中國天文學中的四象之一──青龍，又叫蒼龍。

正如西方天文學把全天分為八十八個星座一樣，古中國天文學則把星空分為三坦二十八宿，其中二十八宿是貼近黃道的區域，又可以再細分為青龍、白虎、朱雀、玄武，稱為四象。

提起青龍，相信一眾醫學界的朋友都會有股莫名的親切感。青龍包含的東方七宿分別是角、亢、氐、房、心、尾、箕。這七宿的星星連起來，就似是一條在夜空中飛翔的龍。

Stellarium軟件中的星空，對應著古中國天文學的東方青龍

 

Stellarium軟件中的星空，對應著西方星座

顯示古中國星空的星圖

青龍的第一個星宿角宿是二十八宿之首，其地位自然非同凡響。它最矚目的星星就是大名鼎鼎的角宿一。角宿一與角宿中另外一顆較暗的角宿二合起來，就是青龍的角。角宿一色澤藍白可人、明亮耀眼，也是春季星空中的重要特徵。只要見到角宿一升起，古人就知道春天來臨了。在西方天文學中，這個區域對應著室女座（即處女座）。角宿一就是室女手持的麥穗，角宿一的英文名稱Spica就是麥穗的意思。

觀星者口耳相傳的「春季大弧線」是春天星空的標記，串連起幾顆重要的星星，其中就包括了角宿一。沿著北斗七星「柄」的3顆星（玉衡、開陽及搖光）彎彎地伸延，首先會遇到牧夫座的大角，之後就到室女座的角宿一，最後到烏鴉座。這條線就是大名鼎鼎的「春季大弧線」。

在奪目的角宿後，就到較為平淡的亢宿與氐宿，分別代表青龍的頸部與雙爪。它們的星星大多暗淡無光。唯一值得一提的是，大角星雖然不是直接歸於亢宿，但它都屬於亢宿星組的一部分。大角都是「春季大弧線」的一部分，是全天第四亮的星星。它是一顆紅巨星，所以呈橙紅色。它之所以叫做「大角」，當然也與龍角有關。在更早以前，角宿一與大角才是青龍的的一對角。不過後來古人認為大角離黃道太遠，於是他們就另找了較近黃道的角宿一為青龍的另一隻角。不知道大家有沒有看過由 Jennifer Lawrence and Chris Pratt 主演的科幻愛情電影《太空潛航者》（Passengers）？其中一段浪漫情節就是二人倚於一起在太空船中觀看大角星。

電影《太空潛航者》（Passengers）中男女主角二人倚於一起在太空船中觀看大角星

 至於氐宿則對應著西方的天秤座。這區域的星空暗淡，沒有太多好談。

之後就到非常精彩的房、心、尾三宿，分別代表青龍的腹部、心臟與尾巴。這三個星宿對應著西方的天蠍座。無獨有偶，西方把心宿與尾宿當成蠍子的心臟與尾巴。由此可見西方與中國的古人的想像力竟然非常相似，竟然一起把相同的星星聯想成心臟與尾巴，非常有趣。至於房宿，西方人則把它聯想成蠍子的爪。天蠍座是夏季南方星空的重要星座，非常亮麗奪目。

心宿為何被西方與中國古人同時聯想成心臟呢？原來心宿中有顆非常顯眼，呈鮮紅色的心宿二。它是一顆紅超巨星，直徑是太陽的八百多倍，是其中一顆我們所知最大的星。如果把它放在太陽系的中心，它的表面會去到火星與木星間的位置。

至於尾宿，就像是一個彎彎的勾，所以看起來真的很像一條尾巴。把房、心、尾三宿放在一起，其實就有點像英文字母中的J字。

青龍的最後一宿是箕宿。如果說尾宿是青龍的尾巴，那箕宿是甚麼呢？有人說它是青龍尾巴邊緣的鰭。在西方天文學中，箕宿已經進入了人馬座的領域。人馬座最為人所知的是當中幾顆星組成「茶壺」狀的圖案。在足夠地暗的環境下觀看，會見到銀河就像在「茶壺」的「嘴」噴出來，就好像是茶壺噴出的蒸氣般，非常美麗。箕宿就是「茶壺」的「嘴」，直插入銀河中。

順帶一提，原來我們位處的銀河系就像是一塊盤狀的平面，恒星集中在這平面上，無數肉眼不能細分的恆星形成一道畫過天空的朦朧光帶。而其最濃密的核心，就位在人馬座內，因此該處的銀河顯得特別雄偉而且亮麗。

在明白了青龍七宿，大家就更容易了解到《易經》乾卦爻辭的意思了（也許大家甚至可以從中領悟到降龍十八掌的絕世武術秘笈）。乾卦爻辭所說的「潛龍勿用」，「潛龍」就是青龍七宿尚未升起。「見龍在田」是黃昏時青龍七宿中的角宿初現於東方。「飛龍在天」就是七宿都完整地出現於東南方的星空。「亢龍有悔」是青龍開始向西落下。最後當代表龍頭的角宿落到地平線下，就是「群龍無首」。

現時正值盛夏，在太陽剛下不久後，青龍正好高掛在天，大家可以欣賞到「飛龍在天」的情景。

愛因斯坦利用相對論證明了畢氏定理？！

某鄰近強國出版的一本數學教科書指愛因斯坦利用相對論中的質能方程e=mc²證明畢氏定理，其荒謬程度不下於香港的某議員提議蒸口罩重用。不過為了避免該國人民特別脆弱的自專心，史丹福還是不多批評了。我只想藉此機會與大家分享一下愛因斯坦與畢氏定理的故事，順道與大家分享8個不同的畢氏定理的證明。

畢氏定理現有超過350個不同的證法，不少人都相信它是現存有最多不同證明方法的數學定理。其中一個方法是由物理學天才愛因斯坦於12歲時提出的。他的證明如下：

參考下圖的直角三角形ABC，

設AD為三角形的垂線。

考慮ΔABC、ΔACD與ΔCBD

∠ACB = ∠ADC = ∠CDB = 90^o

∠ABC = ∠ACD = ∠CBD

∠BAC = ∠CAD = ∠DCB

所以ΔABC ~ ΔACD ~ ΔCBD (AAA)

三個三個形的線性比例是AB:AC:CB = c:b:a

面積比例是線性比例的平方，所以等如c²:b²:a²

設ΔABC、ΔACD與ΔCBD的面積分別是kc²、kb²與ka²，ΔABC的面積顯然是ΔACD與ΔCBD面積的和。

kc² = kb² + ka²

a² + b² = c²

這就是大家熟知的畢氏定理！愛因斯坦真不愧是世上少有的天才，在還是小孩的時候已經發現到一個如此優雅簡潔的證明。

至於鄰近強國的教科書為何會荒謬地指愛因斯坦利用質能方程證明了畢氏定理呢？明明這證明與相對論一點關係都沒有。有心水清的網民就發現這有可能是翻譯出錯的結果。也許教科書翻譯外國文章時卻把當中出現的e=mc²誤認為是質能方程。該文章用e來代表面積，用m來表達比例常數（也就是我們用的k）。但鄰近強國教科書的編輯卻先入為主地卻把這方程當成質能方程。

正如之前所說，為了避免該國人民特別脆弱的自專心，史丹福還是不多批評了。畢氏定理作為現存有最多不同證明方法的數學定理，有很多的證明都非常簡單而美麗，就讓史丹福與大家分享愛因斯坦證法之外的另外8種證明方法。

證法1

這個證法同樣利用相似三角形的特性。我們再次利用之前的圖形。

ΔABC ~ ΔACD ~ ΔCBD

AD/ AC = AC / AB

所以AD = AC² / AB，同樣地AD = CD² / AB

AB = AD + BD = AC² / AB + CD² / AB

AB² = AC² + CD²

a² + b² = c²

證法2

這證法應該是其中一個最常在中學教科書中出現的證法，大家當年學習畢氏定理時應該就見過了。其實中國西漢時期出現的《周髀算經》已經出現了這證法，所以也有人稱之為「中國證法」。

參考下圖，大正方形的面積是小正方形與四個直角三角形面積之和。

(a + b)² = c² + 4 (ab/2)

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

a² + b² = c²

證法3

這證法都是由《周髀算經》中引伸出來的，與之前證法類似。

參考下圖，大正方形的面積是小正方形與四個直角三角形面積之和。

c² = (a - b)² + 4 (ab/2)

c² = a² + 2ab + b² + 2ab

a² + b² = c²

證法4

這是幾何學大師歐幾里德於其曠世巨著《幾何原本》中使用的證明。其實比起本文中的其他證法。不過既然是經典中的經典，我們自然不能不提。

參考下圖的直角三角形ABC，其中角C是直角。以AB、BC、CA為邊各劃一個正方形。

考慮ΔAGB與ΔACD。

AG = AC

AB = AD

∠GAB = ∠CAD = ∠CAB + 90^o

ΔAGB ≅ ΔACD (SAS)

正方形ACFD與ΔAGB有相同的底，ΔAGB的高等如ACFD的邊長，所以ACFD的面積是ΔAGB面積的兩倍。同樣地，長方形ADJK的面積是ΔACD面積的兩倍。但ΔAGB與ΔACD有相同的面積，所以正方形ACFD與長方形ADJK有相同的面積（橙色）。同樣地，正方形BHIC與長方形BKJE有相同的面積（綠色）。

ADEB的面積 = ADJK的面積 + BKJE的面積 = ACFD的面積 + BHIC的面積

a² + b² = c²

證法5

證法5是一個總統級的證明方法。由美國第20任總統加菲爾德（James Abram Garfield）所提出。當他還未成為總統時，他是位國會議員。由於國會工作很沉悶，所以他喜歡在無聊的時候思考數學問題解悶，結果就想到了這個畢氏定理的全新證明。

相較起來，本港的建制派立法會議員有睡魔黃議員，有連蒙面法已生效也不知的離地鄉事，有在立法會中呼籲大家蒸口罩重用的「包租婆」議員，還有學歷資料懸空的「葛博士」。美國的政治家在無聊時間竟然是思考數學問題解悶，兩者的修養也未免相差太遠吧。

加菲爾德的證法如下。

參考下圖，∠BAE = 180 ^o - ∠BAC - ∠DAE = 90 ^o

圖中梯形的面積是三個三角形面積之和。

ab/2 + ab/2 + c²/2 = (a + b) (a + b)/2

ab+ c²/2  = (a + b) ²/2

2ab + c² =  a² + 2ab + b²

a² + b² = c²

證法6

這是一個用海龍公式（Heron’s formula）的證法，相當精彩。

參考下圖，大三個形由兩個直角三角形組成，其中角C是直角。

ΔADB的面積自然是2(ab/2) = ab

但根據海龍公式，ΔADB的面積是

a²b² = b²(c² – b²)

a² = c² – b²

a² + b² = c²

證法7

今次就用上一點圓形的幾何性質吧！

參考下圖，以直角三角形ABC中的點B為圓心，BC為半徑畫一個圓，AC是圓的切線（tangent）。

根據切線割線定理（tangent secant theorem），AC² = AD x AE

b² = (c – a)(c + a) = c² – a²

a² + b² = c²

證法8

最後是另一個用圓形的幾何性質的證法。

參考下圖，以直角三角形ABC中的點B為圓心，BA為半徑畫一個圓。

根據弦（chord）的性質，AC = CF。

根據交弦定理 （intersecting chords theorem），CA x CF = CD x CE

b² = (c – a)(c + a) = c² – a²

a² + b² = c²

畢氏定理作為公認的其中一條最美麗的數學定理，就連愛因斯坦都試過證明（但他不是用質能方程）。大家又認不認識其他的有趣證明方法呢？

江澤民與五點共圓幾何題

提起江澤民，大家會想起甚麼？大部分人都可能會想到亞視誤報死訊，或者江派與習派的鬥爭。不過數學愛好者們可能都知道，江澤民曾經在2000年視察澳門濠江中學時提出了一條有趣的幾何問題考學生，隨即吸引了很多人挑戰。問題如下：任意一個五角星型的五個三角形的外接圓交於五點，試證這五點共圓。參考下圖，就是要證明K、L、M、N、O共圓。

先始聲明，史丹福無意為任何獨裁者歌功頒德。事實上，全世界的人都應該唾棄獨裁政權。再者，這問題雖然因江澤民而開始廣為人知，但其實它是由法國數學家密克（Auguste Miquel）在1838年最先提出與證明的。江澤民懂得這數學定理，數學能力無疑是高的，但數學能力也與人格無絕對的關係，如某位數學家的妻子正是全香港最惡毒的婦人。

不過純以學術角度來說，這題目的確極具欣賞價值。解題所需的數學知識不多，只屬高中程度，但卻非常精妙，解題者需要有很高的數學觸覺才能找到圖形中隱藏的幾何關係。得出的結論也有很強的美感，可以說是歐氐幾何問題的典範。

史丹福也試做一次，答案如下：

首先我們先證明M、C、E、K共圓。

我們需要先借G點一用，並證明G、M、C、E共圓。

∠GMH = ∠GBH

∠CMH = ∠HIE （因為MCIH四點共圓，圓內接四邊形的外角等於它的內對角）

∠GMC + ∠GEC = ∠GMH + ∠CMH + ∠GEC = ∠GBH + ∠HIE + ∠GEC = ∠EBI + ∠BIE + ∠BEI = 180^o

所以G、M、C、E共圓，同樣地G、K、C、E共圓，因此G、M、C、E、K共圓。

然後再考慮M、N、O、K。

設∠MNI為x，∠ONI為y。

∠MCI = ∠MNI = x

因M、C、E、K共圓，所以∠MKE = 180^o - ∠MCI = 180^o – x

y = ∠ONI = ∠OJE （因為ONIJ四點共圓，圓內接四邊形的外角等於它的內對角）= ∠OKE

∠MKO = ∠MKE - ∠OKE = 180^o – x – y

∠MKO + ∠MNO = ∠MKO + ∠MNI + ∠ONI = 180^o – x – y + x + y = 180^o

所以M、N、O、K共圓，同樣地L、M、N、O共圓，因此K、L、M、N、O共圓。