江澤民與五點共圓幾何題

提起江澤民，大家會想起甚麼？大部分人都可能會想到亞視誤報死訊，或者江派與習派的鬥爭。不過數學愛好者們可能都知道，江澤民曾經在2000年視察澳門濠江中學時提出了一條有趣的幾何問題考學生，隨即吸引了很多人挑戰。問題如下：任意一個五角星型的五個三角形的外接圓交於五點，試證這五點共圓。參考下圖，就是要證明K、L、M、N、O共圓。

先始聲明，史丹福無意為任何獨裁者歌功頒德。事實上，全世界的人都應該唾棄獨裁政權。再者，這問題雖然因江澤民而開始廣為人知，但其實它是由法國數學家密克（Auguste Miquel）在1838年最先提出與證明的。江澤民懂得這數學定理，數學能力無疑是高的，但數學能力也與人格無絕對的關係，如某位數學家的妻子正是全香港最惡毒的婦人。

不過純以學術角度來說，這題目的確極具欣賞價值。解題所需的數學知識不多，只屬高中程度，但卻非常精妙，解題者需要有很高的數學觸覺才能找到圖形中隱藏的幾何關係。得出的結論也有很強的美感，可以說是歐氐幾何問題的典範。

史丹福也試做一次，答案如下：

首先我們先證明M、C、E、K共圓。

我們需要先借G點一用，並證明G、M、C、E共圓。

∠GMH = ∠GBH

∠CMH = ∠HIE （因為MCIH四點共圓，圓內接四邊形的外角等於它的內對角）

∠GMC + ∠GEC = ∠GMH + ∠CMH + ∠GEC = ∠GBH + ∠HIE + ∠GEC = ∠EBI + ∠BIE + ∠BEI = 180^o

所以G、M、C、E共圓，同樣地G、K、C、E共圓，因此G、M、C、E、K共圓。

然後再考慮M、N、O、K。

設∠MNI為x，∠ONI為y。

∠MCI = ∠MNI = x

因M、C、E、K共圓，所以∠MKE = 180^o - ∠MCI = 180^o – x

y = ∠ONI = ∠OJE （因為ONIJ四點共圓，圓內接四邊形的外角等於它的內對角）= ∠OKE

∠MKO = ∠MKE - ∠OKE = 180^o – x – y

∠MKO + ∠MNO = ∠MKO + ∠MNI + ∠ONI = 180^o – x – y + x + y = 180^o

所以M、N、O、K共圓，同樣地L、M、N、O共圓，因此K、L、M、N、O共圓。