極權下的數學－－莫斯科國立大學的「棺材數學題」

 

極權政府為了欺壓人民，往往無所不用其極，從國家安全、國旗、國歌，到防疫、網絡版權、國民教育、洗頭艇，全都可以是極權政府的工具。但大家又有沒有想過連數學都可以被極權政府用來對付國民？

話說在上世紀70至80年代，前蘇聯最好的大學數學系位於莫斯科國立大學。整個莫斯科就只有這所大學的數學力學系提供純理論數學的課程。因此想投身數學研究的蘇聯學生都會以考進這所大學為目標。然而，蘇聯自史太林管治起已經對猶太人相當不友善，這位獨裁者在晚年更加變本加厲，把迫害猶太人變成國家的政策之一。雖然蘇聯未至於如納粹德國般屠殺猶太人，但在國家的政策下，猶太人仍然要受到種種不公平的對待。例如猶太學生幾乎是不可能考進莫斯科國立大學的。

莫斯科國立大學數學力學系頑固執行種族歧視政策，並有一套獨特的方法去篩走猶太學生，就是利用特別設計的數學入學試難題。這些數學題其本上並不是用來考核學生的能力，純粹是為了為難學生，有人就把這些題目稱為「棺材數學題」。但為了避免被人投訴，「棺材數學題」特意設計成看似很簡單，只用初等的數學語言就可以表達清楚，答案同樣也是看似很簡單，只用初等的數學技巧就可以解決。但這些問題其實非常巧妙，考生需要有極強的洞察力才可以解答得到。每當有人投訴考試不公平，考官就可以冠冕堂皇地把答案展示給投訴者，然後再嘲笑他們，「看，這題目多麼的簡單，是你學藝未精，連如此簡單的問題都解不到，我們學系才不收你啊！」這簡直是指鹿為馬。可惜的是，各式各樣的「指鹿為馬」到今天仍然經常在極權下出現。

更要命的是，這些題目是以口試形式來考學生的，也就是說考生不可以冷靜地慢慢思考，而是要即時給出答案，但「棺材數學題」是非常難以在短時間內想到的答案的。如果考生成功解答得到，考官又會即時轉另一條題目，不斷疲勞轟炸，直至考生答不到為止。

雖然「棺材數學題」的出現是沿於欺壓人民的極權，但單純從數學的角度來說，這些題目的確是很具學習價值的好題目。史丹福就在此分享幾題較簡單的「棺材數學題」，大家不妨試試。記得要先自己試算一下才看答案啊。如果直接看答案，你可能會誤以為它們是很簡單直接的題目，只有自己落手試試，才能領悟到其「棺材」之處。

1. log₂3與log₃5，那個較大？（當然不可以用計算機）
2. 給予兩條平行線段，在只用直尺的情況下把其中一條等分成六份。
3. 在一圓形中，K是弦AB的中點。MN與ST是通過K的弦。MT與AB相交於P，NS與AB相交於Q。證明KP = KQ。
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
4. 找出所有符合以下特性的函數F(x) : R à R, ∀x₁, x₂ ∈ R, F(x₁) – F(x₂) ≤ (x₁ – x₂)²
5. 四個互相相切的圓形中，其中三個的圓心共線。第四個圓的半徑為r，其圓心與線的距離為x。以r表達x。
   
   
   
   
   
   

 

大家落手試了問題嗎？解答得到嗎？

 

以下是答案：

1. 
   
2. 設兩條平行線段分別是l₁與l₂，其中l₁比l₂長。設l₁的頂點為A與B，l₂的頂點為C與D。我們先證明我們可以把l₂等分成兩分。連接AC與BD，令它們的延線相交於E。連接AD與BC，設它們相交於F。連接EF，使EF的延線與AB相交於G。G就是AB的中點。我們可能繼續用同樣的方法，把AB線段等分成四份，再等分成八份。

  如下圖所示，使AC與A₆D的延線相交於H。把H與A₁至A₅相連，這5條線就可以把l₂等分成六份。

 

3. 這是大名鼎鼎的幾何定理－－蝴蝶定理（Butterfly theorem）。如果考生對歐氏幾何有深入認識，並早已學習過這定理的證明，那自然會解答得到。否則要獨立地自己想出證法，應該是非常困難的。

∠NSK = ∠TMK
∠SKN = ∠MKT
ΔNSK ~ ΔTMK
KS/SN = KM/MT

設E與F分別為SN與MT的中點。
KS/SE = KM/MF
∠ESK = ∠FMK
ΔESK ~ ΔFMK
∠SEK = ∠MFK

設O是圓的圓心。
∠OKQ + ∠OEQ = 90^o + 90^o = 180^o，因此OKQE共圓。同樣地，∠OKP + ∠OFP = 90^o + 90^o = 180^o，因此OKPF共圓。
∠KOQ = ∠SEK = ∠MFK = ∠KOP
OP = OQ
ΔOPQ是等腰三角形，OK是垂線。根據等腰三角形的性質，KP = KQ。

 

4.

F(x)必為一常數函數。

5. 大家覺得這個四圓構圖是否有點熟口熟面呢？史丹福曾經在舊文章《日本寺廟幾何學》中介紹過笛卡兒在1643年提出的笛卡兒定理（Descartes' Theorem）。該定理指出對於四個互相交接於一點，而四個圓形的半徑分別是r₁、r₂、r₃與r₄，那麼

幕府時期的日本人也獨立於西方自己研究出這定理，他們更利用這定理解開了不少寺廟幾何學題目。我們也不妨利用一下這定理去計算這「棺材數學題」。

設C₁的半徑為1，C₂與C₃的半徑分別為a與1-a，C₄的半徑是r。

經過一點運算之後應可得到a (1 - a) = r / (1 + r) 。

接著我們考慮ΔO₂O₃O₄。三角形的面積是(O₂O₃) x/2 = [a + (1 – a)] x/2 = x/2。但我們同時可以用海龍公式（Heron’s formula）去求面積。O₂O₃ = 1，O₂O₄ = a + r，O₃O₄ = 1 - a + r。

大家看完答案後就會明白，「棺材數學題」其實並不牽涉太高深的數學。除了笛卡兒定理，其他問題使用的定理與技巧都只是標準高中程度的數學。大家甚至可能會誤以為問題浪得虛名，不見得太難，但其實這正是題目的厲害之處。這樣大學就可以名正言順地貶低猶太學生的數學能力，理直氣壯地不收他們。

猶太裔數學家弗倫克爾（Edward Frenkel）是加州大學柏克萊分校數學系教授。他是位表示論、代數幾何與數學物理學的專家，數學功力絕對不容小覷。不過他不幸地生於前蘇聯，小時候就曾經受到這些「棺材數學題」的摧殘，結果不能考上莫斯科國立大學，只可以在次一等的學校中攻讀數學。他後來在訪問中表示，這些「棺材數學題」最可怕的地方不在阻止學生升上心儀大學，而是在於撤底地摧毀學生的自信心。大學入學試令弗倫克爾大受打擊，他更一度以為自己的數學知識真的次人一等，不配進行高等的數學學術研究。他寧願大學直接地告訴他，大學不收取他是因為他的猶太血統。那麼他至少可以知道自己考不進莫斯科國立大學只是制度的不公，與自己的能力無關。幸好弗倫克爾之後重拾信心，並且頑強對作出抵抗。他偷入莫斯科國立大學旁聽，並在地下學術刊物中發表自己的研究。結果得到了美國哈佛大學賞識，邀請他赴美深造，最後獲得了哈佛大學的博士學位，並成一位出色的數學家。

「棺材數學題」與弗倫克爾的故事告訴我們，在面對極權的壓迫時不要放棄，只要繼續相信自己，繼續做對的事，終有一天可以戰勝不公，贏得公義。