從Ptolemy's theorem看那些年的三角學公式

大家還記得那些年陪伴大家渡過了不少青春高中歲月的三角學公式嗎？大家又知不知道我們這些老朋友中，有不少都可以由Ptolemy's theorem證明或者推演出來？

Ptolemy's theorem是一條很有趣的初等幾何定理，它並不深奧，只不過是基本圓形性質的推廣。不過在數學中，simplicity is beauty，簡單的定理也可以得出有趣的結果，它告訴我們圓內接四邊形兩對對邊的乘積相加等如兩條對角線的乘積。參考下圖，即AC．BD = AD．BC + AB．DC。

雖然這條定理並不在當年的數學課程中（據聞現在DSE課程的Further learning中有約略提及），但數學迷一定聽過這定理了，它在數學比賽中好使好用，時常都可以運用到。

順帶一提，Ptolemy是古埃及的天文學家。他利用這條定理做出一張弦長表，其實也可以算是最早的三角函數表。但在天文學方面，他卻是「惡名昭彰」的。他建立的地心學說（其他行星環繞地球公轉）統治了歐洲多個世紀，這個錯誤的理論被人視為不可動搖的金科玉律。話雖如此，其實以當時的天文學知識，Ptolemy嘗試以數學方法提出模型，已經是很大的成就了。

Ptolemy’s theorem的證明如下，設有一圓內接四邊形ABCD，E是AC上的一點，使得∠ABD=∠EBC：

∠ADB=∠ECB (angles in the same segment)

∠BAD=∠BEC (angle sum of triangle)

ΔABD~ΔEBC (AAA)

AD/EC = BD/BC (corresponding sides, ~Δ)

EC = AD．BC / BD

∠ABD+∠DBE =∠EBC+∠DBE

∠ABE=∠DBC

∠BAE=∠BDC (angles in the same segment)

∠AEB=∠DCB (angle sum of triangle)

ΔABE~ΔDBC (AAA)

AE/DC = AB/DB (corresponding sides, ~Δ)

AE = DC．AB/DB

AC = AE + EC = AD．BC / BD + DC．AB/DB = (AD．BC + AB．DC) / BD

AC．BD = AD．BC + AB．DC

接著，我們就可以用這條精彩的定理做出很多三角學的結果了。

但在此之前，讓我們重溫一下大名鼎鼎的老朋友── sine law。根據sine law，對任意三角形ΔABC，a / sin A = b / sin B= c / sin C = 2r，其中r是外接圓的半徑。

一個簡單的證明如下：

為ΔABC畫一個外接圓，設圓的半徑是r，CD是圓的其中一條直徑。

∠CAD=∠CDB (angles in the same segment)

∠CBD = 90°(angle in semicircle)

sin A = sin∠CAD = sin∠CDB = BC / CD = a / 2r

a / sin A = 2r

同樣地，b / sin B = 2r，c / sin C = 2r，所以a / sin A = b / sin B= c / sin C = 2r。

接著我們可以開始試試證明一些三角學公式了，先試一下和角公式。

如上圖，設x + w = y + z = 90°，根據Ptolemy’s theorem：

AC．BD = AD．BC + AB．DC

(AC / 2r) (BD / 2r) = (AD / 2r) (BC / 2r) + (AB / 2r) (DC / 2r) （設r是外接圓的半徑）

sin (x + y)．sin (x + w) = sin z．sin x + sin y．sin w

sin (x + y)．sin 90° = sin (90°-y)．sin x + sin y．sin (90°-x)

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

看，這就是sin的和角公式了！

接著我們又試試用Ptolemy’s theorem證明我們另一位老朋友cosine law。

先作一個圓內接梯形ABCD，其中AB//DC，AD = BC。

根據Ptolemy’s theorem：

AC．BD = AD．BC + AB．DC

AC2 = AD2 + [DC – 2AD cos ( x + z )]．DC

AC2 = AD2 + DC2 – 2(AD) (DC) cos ∠ADC

我們的老朋友出現了！

最後，我們試試用Ptolemy’s theorem求sin 18°的值。

先作一個正五邊形ABCDE，正五邊形一定是圓外接的。F是CD的中點，∠CAF就是18°了。

因為∠ABC = ∠EAB = ∠DEA = 180° x 3 / 5 = 108°

∠BAC = ∠EAD = (180° - 108°) / 2 = 36°

∠DAC = 108° - 36° - 36° = 36°

∠CAF = 36° / 2 = 18°

設正五邊形邊長x，每條對角線長y。

根據Ptolemy’s theorem：

AC．BD = AD．BC + AB．DC

y2 = xy + x2

1 = (x / y) + (x / y) 2

(x / y) 2 + (x / y) – 1 = 0

x / y = (√5 – 1) / 2

而sin 18° = sin∠CAF = CF / AC = (x / y) / 2 = (√5 – 1) / 4

很美麗吧？所以說，數學是其中一們世界上最有趣的學問，千變萬化，有很多不為人知的遺珠等待我們發掘！