DSE試題中的「歐拉線」

雖然DSE數學課程比舊制課程明顯簡單得多，不過偶爾還是會出現相當有趣的題目。例如首屆DSE的數學M2試卷就出現了一題有關「歐拉線」的題目。

歐拉線是平面幾何中鼎鼎大名的理論，由其中一位史上最偉大的數學家歐拉（Leonhard Euler）所提出，是一條通過三角形的垂心（orthocentre）、外心（circumcentre）、重心（centroid）和九點圓圓心的一條直線，歐拉證明了在任意三角形中，這四點必成一直線。

歐拉非常多產，研究的範圍覆蓋了代數、幾何、數論、微積分、圖論和拓撲學，甚至是物理數學上都有不少突破性的研究，可以說是支配了18世紀至現在的數學。歐拉作出的數學貢獻多如恆河沙數，以他命名的數學理論也非常之多，大家翻開由何一個範疇的數學教科書，都差不多總會預到該個範疇入面以歐拉命名的數學理論。

言歸正傳，看看以下的DSE試卷題目（HKDSE 2012 數學伸延部份單完二 微積分與代數第12題）：

答案如下：

題目用向量的方法得出了垂心、外心與重心共線，穿越三點的線就是歐拉線（雖然題目中沒有出現過歐拉線這名稱）。這題題目並沒有包括九點圓圓心，九點圓圓心是比較複製的平面幾何概念，我們有機會再作詳談。

除了向量外，我們也可以用一般平面幾何方法證明垂心、外心與重心共線，證法如下：

 設D、E、F分別是BC、CA及AB的中點。O、G及H分別是ΔABC的外心、重心與垂心。

那麼ΔABC～ΔDEF，且FE//BC，ED//AB及DF//CA（這個不太難證明，讀者可以自行試試）。

另外，由於ED//AB，所以AB的垂直平分線（perpendicular bisector）也必定垂直於ED，它是ΔDEF的垂線（altitude）。同樣地，BC的垂直平分線與CA的的垂直平分線也分別是ΔDEF的垂線。那麼O是ΔABC的外心，卻也是ΔDEF的垂心。

考慮ΔAHG與ΔDOG

AH/DG=BC/EF=2 (因為ΔABC～ΔDEF)

AG/GD=2 (properties of centroid)

AH//OD (兩條線皆垂直於BC)

∠GHA=∠GDO (alt. ∠s, AH//OD)

所以ΔAHG～ΔDOG (ratio of 2 sides, inc. ∠s)

ΔAGH=ΔDGO (corr. ∠s, ～Δs)

AGD是一直線，所以O、G、H也都共線，這條線就是歐拉線。